Warum die Seitenverhältnisse gleich bleiben
Der Sinus gehört zum Winkel, nicht zur Größe des Dreiecks. Das liegt an ähnlichen Dreiecken.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, warum sin, cos und tan nur vom Winkel abhängen.
- Ich nutze den Streckfaktor, um Seiten ähnlicher Dreiecke zu vergleichen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Streckfaktor, Die Winkelsumme im Dreieck
Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel α. Auch der dritte Winkel stimmt überein, denn die Winkelsumme ist immer 180°. Die Dreiecke haben also dieselbe Form und sind ähnlich. Eines ist nur größer.
Bei ähnlichen Dreiecken sind alle Seiten des größeren Dreiecks k-mal so lang. Die Zahl k heißt Streckfaktor. Hat das kleine Dreieck die Gegenkathete a und die Hypotenuse c, dann hat das große die Seiten k · a und k · c.
Im Verhältnis kürzt sich k heraus: (k · a) : (k · c) = a : c. Darum ist sin α in beiden Dreiecken gleich. Dasselbe gilt für cos α und tan α. Die Seitenverhältnisse hängen nur vom Winkel ab. Deshalb kann ein Taschenrechner zu jedem Winkel den passenden Wert angeben.
| Streckfaktor k | Gegenkathete | Hypotenuse | sin α |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 5 | drei Fünftel = 0,6 |
| 2 | 6 | 10 | sechs Zehntel = 0,6 |
| 3 | 9 | 15 | neun 15tel = 0,6 |
| 4 | 12 | 20 | zwölf 20stel = 0,6 |
Das Verhältnis im vergrößerten Dreieck
- Kleines Dreieck: 3, 4, 5. Streckfaktor k = 4.
- Großes Dreieck: 12, 16, 20.
- sin α im großen Dreieck: 12 : 20.
- Kürzen mit 4 ergibt 3 : 5 = 0,6.
- Das ist derselbe Wert wie im kleinen Dreieck.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Ein Foto kann man vergrößern. Die Form bleibt gleich.
So ist es auch bei Dreiecken.
Das Verhältnis zweier Seiten ändert sich dabei nicht.
Ein Beispiel
Eine Leiter lehnt an einer Wand und bildet mit dem Boden einen Winkel von 60°. Eine doppelt so lange Leiter lehnt im selben Winkel. Sie reicht doppelt so hoch. Das Verhältnis Höhe : Leiterlänge bleibt gleich.
Schritt für Schritt
Wir prüfen ein Dreieck mit dem Streckfaktor 3
- Kleines Dreieck: Gegenkathete 3, Ankathete 4, Hypotenuse 5.
- Streckfaktor 3: Gegenkathete 9, Ankathete 12, Hypotenuse 15.
- tan α klein: 3 : 4 = 0,75.
- tan α groß: 9 : 12 = 0,75. Gleicher Wert.
Mit einem Bild erklärt
| Dreieck | Gegenkathete | Ankathete | tan α |
|---|---|---|---|
| klein | 3 | 4 | 0,75 |
| groß (k = 3) | 9 | 12 | 0,75 |
Zur Grundlage zurück
- Der Streckfaktor – Den Streckfaktor kennst du von dort.
- Die Winkelsumme im Dreieck – Die Winkelsumme im Dreieck brauchst du hier.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Dreieck hat die Seiten 3, 4 und 5. Ein ähnliches Dreieck ist 5-mal so groß. Wie lang ist seine Hypotenuse?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere die Hypotenuse mit dem Streckfaktor.
Lösung ansehen
Lösung: 25
5 · 5 = 25.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Im Dreieck ist die Gegenkathete 6 und die Hypotenuse 10. Ein ähnliches Dreieck hat die Hypotenuse 25. Wie lang ist dort die Gegenkathete?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Streckfaktor ist 25 : 10 = 2,5. Nimm 6 mal 2,5. Oder nutze sin α = 6 : 10 = 0,6.
Lösung ansehen
Lösung: 15
6 · 2,5 = 15. Probe: 15 : 25 = 0,6.
Tipp: Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 2 wird durch seine Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt. Ihre Winkel sind 30°, 60° und 90°. Die kürzere Kathete ist 1, die Hypotenuse 2. Also gilt sin 30° = ein halb = 0,5, egal wie groß das Dreieck ist.
Merksatz: Ähnliche rechtwinklige Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse. Darum hängen sin α, cos α und tan α nur vom Winkel α ab.
Typischer Fehler: Viele meinen, ein größeres Dreieck habe auch einen größeren Sinus. Das stimmt nicht. Alle Seiten wachsen im gleichen Maß. Das Verhältnis bleibt gleich.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: Er ist in beiden Dreiecken gleich.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: Auch der dritte Winkel ist gleich.
Frage 4 Ein Dreieck hat die Seiten 5, 12 und 13. Es wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Wie lang ist die längste Seite?
Zeig mir den ersten Schritt
Die längste Seite ist die Hypotenuse.
Lösung ansehen
Lösung: 26
13 · 2 = 26.
Geschafft
Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke einen spitzen Winkel gemeinsam haben, sind sie ähnlich. Ihre Seitenverhältnisse sind gleich. Deshalb gehört zu jedem Winkel genau ein Sinus-, Kosinus- und Tangenswert.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Trigonometrie im Dreieck
Kurz erklärt, 48 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen