Seiten berechnen
Kennst du einen Winkel und eine Seite, berechnest du die anderen Seiten mit Sinus, Kosinus oder Tangens.
Das lernst du heute
- Ich wähle die passende Formel aus den gegebenen und gesuchten Seiten.
- Ich berechne Seiten mit dem Taschenrechner im Gradmodus.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Sinus, Kosinus und Tangens
Die Definitionen kannst du umstellen. Aus sin α = G : H wird G = H · sin α. Aus cos α = A : H wird A = H · cos α. Aus tan α = G : A wird G = A · tan α. Dabei ist G die Gegenkathete, A die Ankathete und H die Hypotenuse.
So gehst du vor: Skizziere das Dreieck. Markiere den Winkel, die gegebene Seite und die gesuchte Seite. Dann wählst du die Formel, in der genau diese beiden Seiten vorkommen.
Der Taschenrechner muss auf Grad stehen. Oft heißt die Einstellung DEG. Die Taste sin liefert den Sinus des eingegebenen Winkels.
| gegeben | gesucht | Formel |
|---|---|---|
| Hypotenuse H | Gegenkathete G | G = H · sin α |
| Hypotenuse H | Ankathete A | A = H · cos α |
| Ankathete A | Gegenkathete G | G = A · tan α |
| Gegenkathete G | Hypotenuse H | H = G : sin α |
Höhe einer Rampe
- Eine Rampe ist 5 m lang und steigt unter 20° an. Gesucht ist die Höhe.
- Die Höhe ist die Gegenkathete von 20°. Die Rampe ist die Hypotenuse.
- G = H · sin α = 5 · sin 20°.
- sin 20° ≈ 0,342, also G ≈ 1,71 m.
- Die Rampe erreicht eine Höhe von etwa 1,71 m.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zeichne das Dreieck.
Markiere gegeben und gesucht.
Wähle sin, cos oder tan. Rechne mit dem Taschenrechner.
Ein Beispiel
Eine Leiter ist 6 m lang und steht unter 30° zum Boden. Sie reicht 6 · sin 30° = 6 · 0,5 = 3 m hoch.
Schritt für Schritt
Wir berechnen die Gegenkathete mit dem Tangens
- Ankathete 8 m, α = 35°. Gesucht ist die Gegenkathete.
- Gegeben ist die Ankathete, gesucht die Gegenkathete. Das passt zum Tangens.
- G = A · tan α = 8 · tan 35°.
- tan 35° ≈ 0,700, also G ≈ 5,60 m.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Formel | G = A · tan α |
| Einsetzen | G = 8 · tan 35° |
| Ergebnis | G ≈ 5,60 m |
Zur Grundlage zurück
- Sinus, Kosinus und Tangens – Die Definitionen brauchst du hier.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Dreieck hat die Hypotenuse 14 cm und den Winkel α = 30°. Wie lang ist die Gegenkathete in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Nutze G = H · sin α. Es gilt sin 30° = 0,5.
Lösung ansehen
Lösung: 7
G = 14 · 0,5 = 7 cm.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die Hypotenuse ist 18 cm lang, α = 60°. Wie lang ist die Ankathete in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Nutze A = H · cos α. Es gilt cos 60° = 0,5.
Lösung ansehen
Lösung: 9
A = 18 · 0,5 = 9 cm.
Tipp: Prüfe das Ergebnis: Eine Kathete muss kürzer als die Hypotenuse sein. 1,71 m ist kürzer als 5 m.
Merksatz: G = H · sin α. A = H · cos α. G = A · tan α. Stelle den Rechner auf Grad (DEG).
Typischer Fehler: Ein häufiger Fehler: Der Rechner steht auf Bogenmaß (RAD) statt auf Grad (DEG). Das Bogenmaß ist eine andere Einheit für Winkel. Dann stimmen alle Ergebnisse nicht. Prüfe: sin 30° muss 0,5 ergeben.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: G = A · tan α
Frage 2 Die Ankathete ist 9 cm lang, α = 45°. Es gilt tan 45° = 1. Wie lang ist die Gegenkathete in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
G = A · tan α.
Lösung ansehen
Lösung: 9
G = 9 · 1 = 9 cm.
Frage 3 Die Hypotenuse ist 12 cm lang, α = 40°. Wie lang ist die Gegenkathete, gerundet auf ganze cm? Es gilt sin 40° ≈ 0,643.
Zeig mir den ersten Schritt
G = 12 · sin 40°.
Lösung ansehen
Lösung: 8
12 · 0,643 ≈ 7,72. Gerundet sind das 8 cm.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Die Gegenkathete ist 5 cm lang, α = 30°. Wie lang ist die Hypotenuse in cm? Es gilt sin 30° = 0,5.
Zeig mir den ersten Schritt
Stelle um: H = G : sin α.
Lösung ansehen
Lösung: 10
H = 5 : 0,5 = 10 cm.
Geschafft
Mit Sinus, Kosinus und Tangens berechnest du Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Wähle die Formel nach gegebenen und gesuchten Seiten.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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