Winkel berechnen
Sind zwei Seiten bekannt, findest du den Winkel mit den Umkehrfunktionen des Taschenrechners.
Das lernst du heute
- Ich berechne einen Winkel aus zwei Seiten.
- Ich nutze sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹ auf dem Taschenrechner.
- Ich berechne den zweiten Winkel mit der Winkelsumme.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Seiten berechnen, Die Winkelsumme im Dreieck
Bisher war der Winkel gegeben. Jetzt ist er gesucht. Du kennst zwei Seiten und bildest ein Verhältnis. Dann fragst du: Zu welchem Winkel gehört dieser Wert?
Dafür gibt es die Umkehrtasten. Sie heißen sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹. Oft erreichst du sie mit einer Zusatztaste wie 2nd oder SHIFT. Das Zeichen ⁻¹ bedeutet hier nicht „eins durch“. Es bedeutet „der Winkel zu diesem Wert“.
Ein Beispiel: Gegenkathete 3, Hypotenuse 5. Es ist sin α = drei Fünftel = 0,6. Mit dem Rechner im Gradmodus gilt α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87°. Der zweite spitze Winkel ist β = 90° − 36,87° = 53,13°.
| gegebene Seiten | Verhältnis | Winkel |
|---|---|---|
| G und H | sin α = G : H | α = sin⁻¹(G : H) |
| A und H | cos α = A : H | α = cos⁻¹(A : H) |
| G und A | tan α = G : A | α = tan⁻¹(G : A) |
Winkel mit dem Tangens
- Gegenkathete 5 m, Ankathete 12 m. Gesucht ist α.
- tan α = 5 : 12 ≈ 0,4167.
- α = tan⁻¹(0,4167) ≈ 22,62°.
- Der zweite spitze Winkel: β = 90° − 22,62° = 67,38°.
- Probe: 22,62° + 67,38° + 90° = 180°.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Du kennst zwei Seiten.
Bilde das Verhältnis.
Drücke sin⁻¹, cos⁻¹ oder tan⁻¹. Das Ergebnis ist der Winkel.
Ein Beispiel
Eine Rampe ist 2 m lang und steigt 1 m hoch. Dann ist sin α = 1 : 2 = 0,5. Mit der Umkehrtaste erhältst du α = 30°.
Schritt für Schritt
Wir berechnen einen Winkel aus Ankathete und Hypotenuse
- Ankathete 9 cm, Hypotenuse 18 cm.
- Die Seiten A und H gehören zum Kosinus.
- cos α = 9 : 18 = 0,5.
- α = cos⁻¹(0,5) = 60°.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Verhältnis | cos α = 9 : 18 = 0,5 |
| Umkehrtaste | α = cos⁻¹(0,5) |
| Ergebnis | α = 60° |
Zur Grundlage zurück
- Seiten berechnen – Das Umstellen der Formeln kennst du von dort.
- Die Winkelsumme im Dreieck – Die Winkelsumme brauchst du für den zweiten Winkel.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Gegenkathete 5 cm, Hypotenuse 10 cm. Wie groß ist α in Grad?
Zeig mir den ersten Schritt
Bilde sin α = 5 : 10.
Lösung ansehen
Lösung: 30
sin α = 0,5. Die Umkehrtaste liefert α = 30°.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Gegenkathete 7 cm, Ankathete 7 cm. Wie groß ist α in Grad?
Zeig mir den ersten Schritt
Bilde tan α = 7 : 7.
Lösung ansehen
Lösung: 45
tan α = 1. Dazu gehört α = 45°.
Tipp: Gib das Verhältnis als Bruch ein, zum Beispiel sin⁻¹(3 : 5). So vermeidest du Rundungsfehler.
Merksatz: Winkel gesucht: α = sin⁻¹(G : H), α = cos⁻¹(A : H) oder α = tan⁻¹(G : A). Rechner im Gradmodus.
Typischer Fehler: Viele verwechseln sin⁻¹ mit 1 : sin. Das ist etwas anderes. sin⁻¹(0,6) ist ein Winkel, 1 : sin 30° = 2 ist eine Zahl.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: α = cos⁻¹(4 : 5)
Frage 2 Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm. Wie groß ist α, gerundet auf ganze Grad?
Zeig mir den ersten Schritt
tan α = 3 : 4 = 0,75.
Lösung ansehen
Lösung: 37
tan⁻¹(0,75) ≈ 36,87°. Gerundet sind das 37°.
Frage 3 Ein spitzer Winkel im rechtwinkligen Dreieck ist 53°. Wie groß ist der andere spitze Winkel in Grad?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. Ein Winkel ist 90°.
Lösung ansehen
Lösung: 37
90° − 53° = 37°.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Gegenkathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. Wie groß ist α, gerundet auf ganze Grad?
Zeig mir den ersten Schritt
sin α = 8 : 10 = 0,8.
Lösung ansehen
Lösung: 53
sin⁻¹(0,8) ≈ 53,13°. Gerundet sind das 53°.
Geschafft
Aus zwei Seiten bildest du ein Verhältnis. Die Umkehrtaste des Taschenrechners liefert dann den Winkel.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Trigonometrie im Dreieck
Kurz erklärt, 48 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen