Das Volumen des Kegels
Ein Kegel fasst genau ein Drittel eines Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe.
Das lernst du heute
- Ich kenne die Formel V = 1/3 · π · r² · h.
- Ich berechne das Volumen eines Kegels.
- Ich berechne eine fehlende Höhe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Kegel: Mantel und Oberfläche, Das Volumen des Zylinders, Das Volumen der Pyramide
Ein Zylinder und ein Kegel haben denselben Radius r und dieselbe Höhe h. Der Kegel fasst nur ein Drittel des Zylinders. Das ist wie bei Prisma und Pyramide. Für den Zylinder gilt V = π · r² · h. Also gilt für den Kegel V = ein Drittel · π · r² · h. Du kannst auch sagen: V = ein Drittel · G · h mit G = π · r². Für das Volumen brauchst du die Höhe h, nicht die Mantellinie s. Ein Beispiel: r = 5 cm und h = 12 cm. Der Zylinder hat 3,14 · 25 · 12 = 942 cm³. Der Kegel hat ein Drittel davon: 314 cm³. Wir rechnen mit π ≈ 3,14.
Volumen berechnen
- Gegeben: r = 3 cm und h = 4 cm.
- Grundfläche: G = 3,14 · 3 · 3 = 28,26 cm².
- G · h = 28,26 · 4 = 113,04.
- Durch 3 teilen: 113,04 : 3 = 37,68.
- V ≈ 38 cm³ (gerundet auf ganze cm³).
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Ein Zylinder hat π · r² · h.
Ein Kegel mit gleichem r und h hat davon ein Drittel.
Also rechnest du am Ende : 3.
Ein Beispiel
Eine Eistüte ist ein Kegel mit r = 3 cm und h = 12 cm. Sie fasst gut 113 cm³. Das sind etwa 113 ml.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Schreibe r und h auf.
- Berechne G = 3,14 · r · r.
- Berechne G · h.
- Teile durch 3.
Mit einem Bild erklärt
| Körper | Radius r | Höhe h | Volumen V |
|---|---|---|---|
| Zylinder | 5 cm | 12 cm | 942 cm³ |
| Kegel | 5 cm | 12 cm | 314 cm³ |
Zur Grundlage zurück
- Kegel: Mantel und Oberfläche – Du kennst r, h und s am Kegel.
- Das Volumen des Zylinders – Der Zylinder ist der Vergleichskörper.
- Das Volumen der Pyramide – Das Drittel kennst du von der Pyramide.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Kegel hat r = 5 cm und h = 12 cm. Wie groß ist sein Volumen in cm³? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
G = 3,14 · 25 = 78,5. Dann 78,5 · 12 = 942.
Lösung ansehen
Lösung: 314
942 : 3 = 314 cm³.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Kegel hat r = 6 cm und h = 10 cm. Berechne das Volumen mit π ≈ 3,14. Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
G = 3,14 · 36 = 113,04.
Lösung ansehen
Lösung: 377
113,04 · 10 = 1130,4 und 1130,4 : 3 = 376,8. Gerundet sind das 377 cm³.
Tipp: Berechne erst G = π · r². Rechne dann G · h und teile durch 3.
Merksatz: Kegel: V = ein Drittel · π · r² · h. Es zählt die Höhe h, nicht die Mantellinie s.
Typischer Fehler: Viele rechnen mit der Mantellinie s statt mit der Höhe h. Dann ist das Volumen zu groß. Außerdem vergessen manche den Faktor ein Drittel.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Zylinder hat das Volumen 300 cm³. Ein Kegel hat denselben Radius und dieselbe Höhe. Wie groß ist das Volumen des Kegels in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Kegel fasst ein Drittel des Zylinders.
Lösung ansehen
Lösung: 100
300 : 3 = 100 cm³.
Frage 2 Eine Eistüte ist ein Kegel mit r = 3 cm und h = 12 cm. Wie viel passt hinein? Rechne mit π ≈ 3,14 und runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
G = 3,14 · 9 = 28,26.
Lösung ansehen
Lösung: 113
28,26 · 12 = 339,12 und 339,12 : 3 = 113,04. Gerundet sind das 113 cm³.
Frage 3 Ein Kegel hat r = 5 cm und das Volumen 157 cm³. Wie hoch ist er in cm? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Aus V = ein Drittel · G · h folgt h = 3 · V : G. Es ist G = 3,14 · 25 = 78,5.
Lösung ansehen
Lösung: 6
3 · 157 = 471 und 471 : 78,5 = 6. Der Kegel ist 6 cm hoch.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: die Höhe h
Geschafft
Das Volumen eines Kegels ist ein Drittel vom Volumen eines Zylinders mit gleichem r und gleichem h.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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