Die Kugel: Volumen und Oberfläche
Eine Kugel ist durch ihren Radius festgelegt. Mit zwei Formeln berechnest du Volumen und Oberfläche.
Das lernst du heute
- Ich kenne die Formeln für Volumen und Oberfläche der Kugel.
- Ich berechne beides aus dem Radius.
- Ich weiß, wie sich Radius, Oberfläche und Volumen verändern.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Den Flächeninhalt berechnen, Das Volumen des Kegels
Eine Kugel hat keine Kanten und keine Ecken. Alle Punkte der Oberfläche haben denselben Abstand zum Mittelpunkt. Dieser Abstand ist der Radius r. Für das Volumen gilt V = vier Drittel · π · r³. Dabei ist r³ = r · r · r. Für die Oberfläche gilt O = 4 · π · r². Die Oberfläche einer Kugel ist also genau viermal so groß wie die Fläche eines Kreises mit demselben Radius. Ein Beispiel: r = 5 cm. Dann ist O = 4 · 3,14 · 25 = 314 cm². Wir rechnen mit π ≈ 3,14. Ist der Durchmesser d gegeben, halbierst du ihn zuerst: r = d : 2.
Volumen und Oberfläche
- Gegeben: r = 6 cm.
- Volumen: V = vier Drittel · 3,14 · 6 · 6 · 6.
- 6³ = 216. Dann 4 · 3,14 · 216 : 3 = 904,32.
- V ≈ 904 cm³.
- Oberfläche: O = 4 · 3,14 · 36 = 452,16, also ≈ 452 cm².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Du brauchst nur den Radius.
Volumen: vier Drittel · π · r · r · r.
Oberfläche: 4 · π · r · r.
Ein Beispiel
Ein Ball hat den Radius 10 cm. Seine Oberfläche ist 1256 cm². So viel Material braucht man für die Hülle.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Schreibe r auf. Bei gegebenem Durchmesser: r = d : 2.
- Für O: Rechne 4 · 3,14 · r · r.
- Für V: Rechne r · r · r, mal 4 · 3,14, dann durch 3.
Mit einem Bild erklärt
| Radius r | Oberfläche O | Volumen V |
|---|---|---|
| 5 cm | 314 cm² | ≈ 523 cm³ |
| 6 cm | ≈ 452 cm² | ≈ 904 cm³ |
| 10 cm | 1256 cm² | ≈ 4187 cm³ |
Zur Grundlage zurück
- Den Flächeninhalt berechnen – Die Kugeloberfläche vergleichst du mit der Kreisfläche.
- Das Volumen des Kegels – Du kennst schon Formeln mit π und r.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Eine Kugel hat den Radius r = 5 cm. Berechne die Oberfläche mit π ≈ 3,14 in cm².
Zeig mir den ersten Schritt
O = 4 · 3,14 · 5 · 5.
Lösung ansehen
Lösung: 314
4 · 3,14 = 12,56 und 12,56 · 25 = 314 cm².
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Eine Kugel hat den Radius r = 10 cm. Berechne das Volumen mit π ≈ 3,14. Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
r³ = 10 · 10 · 10 = 1000.
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Lösung: 4187
V = 4 · 3,14 · 1000 : 3 = 12 560 : 3 = 4186,67. Gerundet sind das 4187 cm³.
Tipp: Rechne bei V zuerst r³. Teile am Ende durch 3, damit du nicht mit Brüchen rechnest.
Merksatz: Kugel: V = vier Drittel · π · r³ und O = 4 · π · r². Es zählt nur der Radius r.
Typischer Fehler: Viele setzen den Durchmesser statt des Radius ein. Dann wird das Ergebnis viel zu groß. Prüfe immer: Ist r der halbe Durchmesser?
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Ball hat den Durchmesser 10 cm. Berechne seine Oberfläche mit π ≈ 3,14 in cm².
Zeig mir den ersten Schritt
Der Radius ist die Hälfte: r = 5 cm.
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Lösung: 314
O = 4 · 3,14 · 25 = 314 cm².
Frage 2 Eine Kugel hat den Radius r = 10 cm. Berechne die Oberfläche mit π ≈ 3,14 in cm².
Zeig mir den ersten Schritt
O = 4 · 3,14 · 100.
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Lösung: 1256
12,56 · 100 = 1256 cm².
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Lösung: Stimmt nicht
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Lösung: Faktor 4
Frage 5 Eine Kugel hat den Radius r = 6 cm. Berechne das Volumen mit π ≈ 3,14. Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
r³ = 6 · 6 · 6 = 216.
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Lösung: 904
4 · 3,14 · 216 : 3 = 904,32. Gerundet sind das 904 cm³.
Geschafft
Die Kugel braucht nur den Radius. Das Volumen wächst mit r³, die Oberfläche mit r². Verdoppelst du r, wird die Oberfläche viermal und das Volumen achtmal so groß.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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