Kegel: Mantel und Oberfläche
Der Kegel hat eine runde Grundfläche und eine Spitze. Sein Mantel ist gewölbt. Rollt man ihn flach aus, entsteht ein Kreisausschnitt.
Das lernst du heute
- Ich nenne Radius r, Höhe h und Mantellinie s.
- Ich berechne s mit dem Satz des Pythagoras.
- Ich berechne Mantel und Oberfläche eines Kegels.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Mantel und Oberfläche, Die Hypotenuse berechnen
Ein Kegel hat eine runde Grundfläche mit dem Radius r und eine Spitze. Die Höhe h führt senkrecht von der Spitze zur Mitte der Grundfläche. Die Mantellinie s ist die Strecke von der Spitze zu einem Punkt am Rand des Kreises. Höhe, Radius und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Es gilt s² = r² + h². Das Netz besteht aus einem Kreis und einem Kreisausschnitt. Der Kreisausschnitt ist der Mantel. Für ihn gilt M = π · r · s. Die Oberfläche ist die Grundfläche plus Mantel: O = π · r² + π · r · s = π · r · (r + s). Wir rechnen mit π ≈ 3,14.
Mantel und Oberfläche
- Gegeben: r = 6 cm und h = 8 cm.
- Mantellinie: s² = 36 + 64 = 100, also s = 10 cm.
- Mantel: M = 3,14 · 6 · 10 = 188,4 cm².
- Grundfläche: G = 3,14 · 36 = 113,04 cm².
- Oberfläche: O = 188,4 + 113,04 = 301,44 cm². Das sind gerundet 301 cm².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Unten ist ein Kreis.
Außen ist der Mantel.
Der Mantel braucht die Mantellinie s, nicht die Höhe h.
Ein Beispiel
Eine Eistüte ist ein Kegel ohne Deckel. Das Papier um die Tüte ist der Mantel. Die Kugel oben deckt die Grundfläche.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Schreibe r und h auf.
- Berechne s mit s² = r² + h².
- Berechne M = π · r · s.
- Berechne G = π · r² und addiere.
Mit einem Bild erklärt
| Teil | Formel | Wert bei r = 6, s = 10 |
|---|---|---|
| Mantel M | π · r · s | 188,4 cm² |
| Grundfläche G | π · r² | 113,04 cm² |
| Oberfläche O | G + M | 301,44 cm² |
Zur Grundlage zurück
- Mantel und Oberfläche – Beim Zylinder hast du Mantel und Grundfläche schon verbunden.
- Die Hypotenuse berechnen – Die Mantellinie berechnest du mit dem Satz des Pythagoras.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Kegel hat den Radius r = 9 cm und die Höhe h = 12 cm. Wie lang ist die Mantellinie s in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
s² = 9² + 12² = 81 + 144.
Lösung ansehen
Lösung: 15
s² = 225, also s = 15 cm.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Kegel hat r = 5 cm und h = 12 cm. Berechne die Oberfläche mit π ≈ 3,14. Runde auf ganze cm².
Zeig mir den ersten Schritt
s² = 25 + 144 = 169, also s = 13 cm.
Lösung ansehen
Lösung: 283
O = 3,14 · 5 · (5 + 13) = 3,14 · 90 = 282,6. Gerundet sind das 283 cm².
Tipp: Berechne zuerst s. Ohne s kannst du den Mantel nicht ausrechnen.
Merksatz: Kegel: M = π · r · s und O = π · r · (r + s). Dabei ist s die Mantellinie.
Typischer Fehler: Viele setzen in die Mantelformel die Höhe h statt der Mantellinie s ein. Der Mantel liegt aber schräg auf dem Kegel. Er braucht s.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Kegel hat r = 8 cm und h = 15 cm. Wie lang ist die Mantellinie s in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
s² = 8² + 15² = 64 + 225.
Lösung ansehen
Lösung: 17
s² = 289, also s = 17 cm.
Frage 2 Ein Kegel hat r = 5 cm und s = 10 cm. Berechne den Mantel mit π ≈ 3,14 in cm².
Zeig mir den ersten Schritt
M = 3,14 · 5 · 10.
Lösung ansehen
Lösung: 157
3,14 · 50 = 157 cm².
Lösung ansehen
Lösung: M = π · r · s
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Frage 5 Ein Kegel hat r = 3 cm und s = 5 cm. Berechne den Mantel mit π ≈ 3,14. Runde auf ganze cm².
Zeig mir den ersten Schritt
M = 3,14 · 3 · 5.
Lösung ansehen
Lösung: 47
3,14 · 15 = 47,1. Gerundet sind das 47 cm².
Geschafft
Der Mantel eines Kegels ist M = π · r · s. Die Mantellinie berechnest du mit s² = r² + h². Die Oberfläche ist Grundfläche plus Mantel.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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