Mantel und Oberfläche
Du berechnest Mantelfläche und Oberfläche eines Zylinders.
Das lernst du heute
- Ich berechne die Mantelfläche mit M = 2 · π · r · h.
- Ich berechne die Oberfläche mit O = 2 · G + M.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Das Netz des Zylinders, Die Oberfläche eines Prismas
Die Mantelfläche M ist das aufgerollte Rechteck. Es ist u lang und h breit. Also gilt M = u · h = 2 · π · r · h. Die Oberfläche O besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Mantel: O = 2 · G + M mit G = π · r². Beispiel: r = 3 cm, h = 8 cm. G = 3,14 · 3 · 3 cm² = 28,26 cm². M = 2 · 3,14 · 3 · 8 cm² = 150,72 cm². O = 2 · 28,26 cm² + 150,72 cm² = 207,24 cm². Das sind etwa 207 cm².
| Teil | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Grundfläche G | 3,14 · 3 · 3 | 28,26 cm² |
| Mantel M | 2 · 3,14 · 3 · 8 | 150,72 cm² |
| Oberfläche O | 2 · 28,26 + 150,72 | 207,24 cm² |
Eimer ohne Deckel
- Aufgabe: Ein Eimer ohne Deckel hat r = 10 cm und h = 20 cm. Wie viel Blech braucht man für Boden und Mantel?
- Boden: G = 3,14 · 10 · 10 cm² = 314 cm².
- Mantel: M = 2 · 3,14 · 10 · 20 cm² = 1256 cm².
- Zusammen: O = 314 cm² + 1256 cm² = 1570 cm². Der Deckel fehlt, daher nur eine Grundfläche.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zwei Kreise.
Plus ein Rechteck.
Rechteck: Umfang mal Höhe.
Ein Beispiel
Du willst eine Dose mit Papier bekleben. Das Papier deckt den Mantel ab. Dazu kommen Boden und Deckel, falls sie auch beklebt werden.
Schritt für Schritt
Oberfläche in vier Schritten
- Berechne die Kreisfläche G = π · r².
- Berechne den Mantel M = 2 · π · r · h.
- Rechne O = 2 · G + M.
- Prüfe, ob Deckel oder Boden fehlen.
Mit einem Bild erklärt
| r | h | G | M | O |
|---|---|---|---|---|
| 3 cm | 8 cm | 28,26 cm² | 150,72 cm² | 207,24 cm² |
| 5 cm | 10 cm | 78,5 cm² | 314 cm² | 471 cm² |
| 10 cm | 5 cm | 314 cm² | 314 cm² | 942 cm² |
Zur Grundlage zurück
- Das Netz des Zylinders – Das Mantelrechteck kennst du aus dem Netz.
- Die Oberfläche eines Prismas – O = 2 · G + M gilt auch beim Prisma.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Zylinder hat r = 3 cm und h = 8 cm. Wie groß ist die Mantelfläche? Runde auf ganze cm².
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 2 · 3,14 · 3 · 8.
Lösung ansehen
Lösung: 151
M = 150,72 cm². Gerundet sind das 151 cm².
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Zylinder hat r = 2 cm und h = 10 cm. Wie groß ist die Mantelfläche? Runde auf ganze cm².
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 2 · 3,14 · 2 · 10.
Lösung ansehen
Lösung: 126
M = 125,6 cm². Gerundet sind das 126 cm².
Tipp: Rechne in drei Zeilen: G, M, O. Frage dich: Gehören Boden und Deckel dazu? Ein Eimer hat keinen Deckel, dann zählt nur eine Grundfläche.
Merksatz: Mantel: M = 2 · π · r · h. Oberfläche: O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h.
Typischer Fehler: Viele vergessen eine der beiden Kreisflächen oder nehmen den Durchmesser statt des Radius. Schreibe G, M und O getrennt auf.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Zylinder hat r = 5 cm und h = 10 cm. Wie groß ist die Mantelfläche in cm²? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 2 · 3,14 · 5 · 10.
Lösung ansehen
Lösung: 314
M = 314 cm².
Frage 2 Ein Zylinder hat r = 5 cm und h = 10 cm. Wie groß ist die Oberfläche in cm²? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
G = 78,5 cm². Rechne 2 · G + M mit M = 314 cm².
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Lösung: 471
O = 2 · 78,5 cm² + 314 cm² = 157 cm² + 314 cm² = 471 cm².
Frage 3 Ein Zylinder hat r = 10 cm und h = 5 cm. Wie groß ist die Oberfläche in cm²? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
G = 314 cm² und M = 314 cm².
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Lösung: 942
O = 2 · 314 cm² + 314 cm² = 942 cm².
Zeig mir den ersten Schritt
Wie viele Kreise gehören zur Oberfläche?
Lösung ansehen
Lösung: O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h
Frage 5 Ein Eimer ohne Deckel hat r = 10 cm und h = 20 cm. Wie viel Blech braucht man für Boden und Mantel in cm²? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Nur eine Grundfläche: 314 cm². Dazu der Mantel.
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Lösung: 1570
314 cm² + 1256 cm² = 1570 cm².
Geschafft
Die Oberfläche eines Zylinders ist zweimal die Kreisfläche plus der Mantel. Der Mantel ist ein Rechteck aus Umfang mal Höhe.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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