Zufallsversuche in mehreren Stufen
Du beschreibst Versuche mit mehreren Schritten und zählst ihre Ergebnisse.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, was ein mehrstufiger Zufallsversuch ist.
- Ich bestimme die Anzahl der Ergebnisse mit dem Zählprinzip.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Zufallsversuche, Die Laplace-Regel
Viele Zufallsversuche bestehen aus mehreren Schritten hintereinander. Du wirfst eine Münze zweimal oder du ziehst nacheinander zwei Kugeln. Jeder Schritt heißt eine Stufe. Beim zweimaligen Münzwurf gibt es die Ergebnisse (K|K), (K|Z), (Z|K) und (Z|Z). K steht für Kopf und Z für Zahl. Die Reihenfolge zählt: (K|Z) und (Z|K) sind verschiedene Ergebnisse. Die Anzahl der Ergebnisse berechnest du mit dem Zählprinzip: Du multiplizierst die Zahl der Möglichkeiten in jeder Stufe. Zweimal Münze: 2 · 2 = 4. Münze und Würfel: 2 · 6 = 12. Dreimal Münze: 2 · 2 · 2 = 8. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt die Laplace-Regel. Beispiel: P(genau einmal Kopf) = zwei Viertel = ein halb.
| 1. Wurf | 2. Wurf | Ergebnis |
|---|---|---|
| K | K | (K|K) |
| K | Z | (K|Z) |
| Z | K | (Z|K) |
| Z | Z | (Z|Z) |
Münze und Würfel
- Aufgabe: Du wirfst eine Münze und einen Würfel. Wie viele Ergebnisse gibt es? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf und eine gerade Zahl?
- Stufe 1: 2 Möglichkeiten. Stufe 2: 6 Möglichkeiten. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
- Günstig sind (K|2), (K|4) und (K|6): 3 Ergebnisse.
- P = drei Zwölftel = ein Viertel.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Mehrere Stufen nacheinander.
Die Reihenfolge zählt.
Anzahl: Möglichkeiten mal Möglichkeiten.
Ein Beispiel
Du ziehst erst ein Los aus einer Trommel und wirfst dann einen Würfel. Das sind zwei Stufen. Jede Los-Würfel-Kombination ist ein Ergebnis.
Schritt für Schritt
Ergebnisse systematisch auflisten
- Lege die Stufen fest.
- Schreibe alle Ergebnisse der ersten Stufe auf.
- Ergänze zu jedem alle Ergebnisse der zweiten Stufe.
- Zähle und prüfe mit dem Produkt.
Mit einem Bild erklärt
| Versuch | Stufe 1 | Stufe 2 | Ergebnisse |
|---|---|---|---|
| 2 Münzen | 2 | 2 | 4 |
| Münze und Würfel | 2 | 6 | 12 |
| 2 Würfel | 6 | 6 | 36 |
Zur Grundlage zurück
- Zufallsversuche – Zufallsversuche und Ergebnisse kennst du schon.
- Die Laplace-Regel – Die Laplace-Regel brauchst du zum Berechnen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Du wirfst eine Münze dreimal. Wie viele Ergebnisse gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere die Möglichkeiten jeder Stufe.
Lösung ansehen
Lösung: 8
2 · 2 · 2 = 8.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Du wirfst einen Würfel zweimal. Wie viele Ergebnisse gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
Jede Stufe hat 6 Möglichkeiten.
Lösung ansehen
Lösung: 36
6 · 6 = 36.
Tipp: Schreibe die Ergebnisse systematisch auf: Erst alle mit K, dann alle mit Z. So vergisst du keine. Das Zählprinzip kontrolliert dich: Passt die Anzahl der Zeilen zum Produkt?
Merksatz: Mehrstufiger Versuch: mehrere Schritte nacheinander. Zählprinzip: Anzahl der Ergebnisse = Produkt der Möglichkeiten je Stufe.
Typischer Fehler: Viele halten (K|Z) und (Z|K) für dasselbe Ergebnis. Bei einem mehrstufigen Versuch zählt die Reihenfolge. Es sind zwei verschiedene Ergebnisse.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Zähle zuerst alle Ergebnisse.
Lösung ansehen
Lösung: ein Viertel
Frage 2 Eine Münze und ein Glücksrad mit 5 gleichen Feldern werden geworfen und gedreht. Wie viele Ergebnisse gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 2 · 5.
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Lösung: 10
2 · 5 = 10.
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Lösung: Stimmt nicht
Frage 4 Du wirfst eine Münze dreimal. Bei wie vielen Ergebnissen kommt genau zweimal Kopf vor?
Zeig mir den ersten Schritt
Schreibe sie auf: Wo steht das Z?
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Lösung: 3
(K|K|Z), (K|Z|K) und (Z|K|K): 3 Ergebnisse.
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Lösung: Ich multipliziere die Möglichkeiten je Stufe.
Geschafft
Ein mehrstufiger Versuch hat mehrere Stufen. Die Zahl der Ergebnisse ist das Produkt der Möglichkeiten in jeder Stufe.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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