Das Gleichsetzungsverfahren
Sind beide Gleichungen nach y aufgelöst, setzt du die rechten Seiten gleich und löst eine Gleichung mit x.
Das lernst du heute
- Ich setze zwei Terme für y gleich.
- Ich löse die entstehende Gleichung und berechne das zweite Unbekannte.
- Ich mache die Probe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Grafisch lösen, Schritt für Schritt umformen
Steht in beiden Gleichungen y allein, haben beide rechten Seiten denselben Wert. Beispiel: I: y = 3x − 2 und II: y = x + 4. Setze gleich: 3x − 2 = x + 4. Das ist eine Gleichung mit einer Unbekannten. | − x gibt 2x − 2 = 4, | + 2 gibt 2x = 6, | : 2 gibt x = 3. Jetzt setzt du x = 3 in eine Gleichung ein: y = 3 · 3 − 2 = 7. Die Lösung ist (3|7). Probe in II: 3 + 4 = 7. Stimmt.
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Gleichsetzen | 3x − 2 = x + 4 |
| | − x und | + 2 | 2x = 6 |
| | : 2 | x = 3 |
| y berechnen | y = 3 · 3 − 2 = 7 |
Zweites Beispiel
- I: y = 2x + 3 und II: y = 4x − 5.
- Gleichsetzen: 2x + 3 = 4x − 5.
- | − 2x: 3 = 2x − 5. | + 5: 8 = 2x. | : 2: x = 4.
- y = 2 · 4 + 3 = 11.
- Probe in II: 4 · 4 − 5 = 11. Stimmt. Lösung (4|11).
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Steht in beiden Gleichungen y allein? Dann Terme gleichsetzen.
Nach x lösen.
x einsetzen, y ausrechnen.
Ein Beispiel
Zwei Läufer auf einer Bahn mit Metermarken: Läufer A startet bei −2 m und läuft 3 m pro Sekunde: y = 3x − 2. Läufer B startet bei 4 m und läuft 1 m pro Sekunde: y = x + 4. Gleichsetzen zeigt: Nach 3 Sekunden sind beide bei der Marke 7 m.
Schritt für Schritt
Wir lösen y = 3x − 2 und y = x + 4
- Gleichsetzen: 3x − 2 = x + 4.
- | − x: 2x − 2 = 4.
- | + 2: 2x = 6. | : 2: x = 3.
- y = 3 · 3 − 2 = 7.
- Lösung: (3|7).
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Gleichsetzen | 3x − 2 = x + 4 |
| x | 3 |
| y | 7 |
Zur Grundlage zurück
- Grafisch lösen – Du hast Systeme zeichnerisch gelöst.
- Schritt für Schritt umformen – Gleichungen mit x auf beiden Seiten löst du dort.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse 3x − 2 = x + 4. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
| − x und | + 2.
Lösung ansehen
Lösung: 3
2x = 6, also x = 3.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse y = 2x + 3 und y = 4x − 5. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze 2x + 3 = 4x − 5.
Lösung ansehen
Lösung: 4
8 = 2x, also x = 4.
Tipp: Setze x in die einfachere Gleichung ein. Prüfe das Ergebnis in der anderen.
Merksatz: Gleichsetzen: rechte Seiten gleich → x berechnen → y einsetzen → Probe.
Typischer Fehler: Viele vergessen das y und geben nur x an. Ein System hat als Lösung ein Paar.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 System: y = 2x + 3 und y = 4x − 5. Wie groß ist y?
Zeig mir den ersten Schritt
x = 4 in y = 2x + 3 einsetzen.
Lösung ansehen
Lösung: 11
y = 2 · 4 + 3 = 11.
Lösung ansehen
Lösung: (3|5)
Lösung ansehen
Lösung: Wenn in beiden Gleichungen y allein steht
Frage 4 Löse y = x + 1 und y = −x + 9. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
x + 1 = −x + 9.
Lösung ansehen
Lösung: 4
2x = 8, also x = 4.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Du löst Systeme mit dem Gleichsetzungsverfahren.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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