Das Einsetzungsverfahren
Ist eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst, setzt du sie in die andere ein.
Das lernst du heute
- Ich löse eine Gleichung nach einer Unbekannten auf.
- Ich setze den Term in die andere Gleichung ein.
- Ich berechne beide Unbekannten und mache die Probe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Das Gleichsetzungsverfahren, Klammern auflösen
Beispiel: I: y = 2x und II: x + y = 12. In I ist y schon gegeben. Setze 2x für y in II ein: x + 2x = 12. Das gibt 3x = 12 und x = 4. Dann y = 2 · 4 = 8. Die Lösung ist (4|8). Probe in II: 4 + 8 = 12. Ist keine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst, stelle zuerst eine um. Aus x − y = 3 wird x = y + 3. Setze y + 3 in die andere Gleichung ein. Achte auf Klammern: Wenn die andere Gleichung 2x + y = 15 lautet, schreibst du 2 · (y + 3) + y = 15.
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Term für y | y = 2x |
| In II einsetzen | x + 2x = 12 |
| Lösen | x = 4 |
| y berechnen | y = 8 |
Mit Klammer einsetzen
- I: x − y = 3, II: 2x + y = 15.
- Aus I: x = y + 3.
- In II: 2 · (y + 3) + y = 15.
- Klammer: 2y + 6 + y = 15, also 3y + 6 = 15. | − 6: 3y = 9, y = 3.
- x = 3 + 3 = 6.
- Probe in II: 2 · 6 + 3 = 15. Stimmt. Lösung (6|3).
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Eine Gleichung nach x oder y umstellen.
Den Term in die andere Gleichung schreiben (mit Klammer).
Lösen. Dann die andere Unbekannte.
Ein Beispiel
Du ersetzt in einer Rechnung ein Wort durch eine Zahl, die dafür steht. Genau das tust du hier mit dem Term für y.
Schritt für Schritt
Wir lösen y = 2x und x + y = 12
- y = 2x in x + y = 12 einsetzen.
- x + 2x = 12.
- 3x = 12, also x = 4.
- y = 2 · 4 = 8.
- Lösung (4|8).
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Einsetzen | x + 2x = 12 |
| x | 4 |
| y | 8 |
Zur Grundlage zurück
- Das Gleichsetzungsverfahren – Gleichsetzen kennst du schon.
- Klammern auflösen – Klammern aufzulösen brauchst du beim Einsetzen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse y = 2x und x + y = 12. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze 2x für y ein: x + 2x = 12.
Lösung ansehen
Lösung: 4
3x = 12, also x = 4.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse x = y + 3 und 2x + y = 15. Wie groß ist y?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze y + 3 für x ein: 2 · (y + 3) + y = 15.
Lösung ansehen
Lösung: 3
3y + 6 = 15, also y = 3.
Tipp: Setze den Term immer in Klammern ein. So verlierst du kein Vorzeichen.
Merksatz: Einsetzen: eine Gleichung nach x oder y umstellen → in die andere einsetzen (mit Klammer) → lösen → zweite Unbekannte → Probe.
Typischer Fehler: Viele setzen in dieselbe Gleichung zurück, aus der sie den Term haben. Das ergibt nur 0 = 0. Setze in die andere Gleichung ein.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Löse x = y + 3 und 2x + y = 15. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze y = 3 in x = y + 3 ein.
Lösung ansehen
Lösung: 6
x = 3 + 3 = 6.
Frage 2 Löse 3x + y = 11 und 2x + 3y = 12. Forme 3x + y = 11 nach y um und setze ein. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
y = 11 − 3x. Dann 2x + 3 · (11 − 3x) = 12.
Lösung ansehen
Lösung: 3
2x + 33 − 9x = 12, also −7x = −21 und x = 3.
Lösung ansehen
Lösung: 2 · (y + 3) + y = 15
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Löse y = 3x und x + y = 20. Wie groß ist y?
Zeig mir den ersten Schritt
x + 3x = 20.
Lösung ansehen
Lösung: 15
4x = 20, x = 5, y = 15.
Geschafft
Du löst Systeme mit dem Einsetzungsverfahren.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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