Das Additionsverfahren
Du addierst die Gleichungen so, dass eine Unbekannte wegfällt. Das geht oft am schnellsten.
Das lernst du heute
- Ich addiere zwei Gleichungen, sodass eine Unbekannte verschwindet.
- Ich multipliziere eine Gleichung, damit das klappt.
- Ich berechne beide Unbekannten und mache die Probe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Das Einsetzungsverfahren
Beispiel: I: x + y = 10 und II: x − y = 2. Addiere die linken und die rechten Seiten: (x + y) + (x − y) = 10 + 2. Das y fällt weg: 2x = 12, also x = 6. Setze x = 6 in I ein: 6 + y = 10, also y = 4. Lösung: (6|4). Oft fällt keine Unbekannte weg. Dann multiplizierst du eine Gleichung. Beispiel: I: 3x + 2y = 12 und II: x + y = 5. Multipliziere II mit −2: −2x − 2y = −10. Addiere zu I: x = 2. Dann y = 5 − 2 = 3. Lösung: (2|3).
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| I + II | 2x = 12 |
| x | 6 |
| y aus I | 6 + y = 10, y = 4 |
Erst multiplizieren, dann addieren
- I: 3x + 2y = 12, II: x + y = 5.
- II · (−2): −2x − 2y = −10.
- I + (neue II): 3x − 2x + 2y − 2y = 12 − 10, also x = 2.
- y aus II: 2 + y = 5, also y = 3.
- Probe in I: 3 · 2 + 2 · 3 = 12. Stimmt. Lösung (2|3).
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Suche gleiche Zahlen bei x oder y mit verschiedenem Vorzeichen.
Addiere die Gleichungen.
Rechne das zweite Unbekannte aus.
Ein Beispiel
Du hast zwei Waagen im Gleichgewicht. Legst du alle Gewichte der einen zur anderen dazu, bleibt das Gleichgewicht. So ist es hier.
Schritt für Schritt
Wir lösen x + y = 10 und x − y = 2
- I + II: (x + y) + (x − y) = 10 + 2.
- y fällt weg: 2x = 12.
- x = 6.
- y aus I: 6 + y = 10, y = 4.
- Lösung (6|4).
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| I + II | 2x = 12 |
| x | 6 |
| y | 4 |
Zur Grundlage zurück
- Das Einsetzungsverfahren – Zwei andere Verfahren kennst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Addiere x + y = 10 und x − y = 2. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Die y heben sich auf: 2x = 12.
Lösung ansehen
Lösung: 6
x = 6.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse 2x + 3y = 12 und 4x − 3y = 6 durch Addieren. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Die 3y heben sich auf: 6x = 18.
Lösung ansehen
Lösung: 3
6x = 18, also x = 3.
Tipp: Multipliziere die ganze Gleichung, links und rechts. Sonst stimmt die Gleichung nicht mehr.
Merksatz: Additionsverfahren: Gleichungen so anpassen, dass bei Addition eine Unbekannte wegfällt → addieren → lösen → zweite Unbekannte → Probe.
Typischer Fehler: Viele multiplizieren nur eine Seite der Gleichung. Rechne mit beiden Seiten, sonst ändert sich die Gleichung.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Bei 2x + 3y = 12 und x = 3: Wie groß ist y?
Zeig mir den ersten Schritt
2 · 3 + 3y = 12.
Lösung ansehen
Lösung: 2
3y = 6, also y = 2.
Lösung ansehen
Lösung: mit −2
Frage 3 Löse 3x + 2y = 12 und x + y = 5. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
II · (−2) und addieren.
Lösung ansehen
Lösung: 2
x = 2, y = 3.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Löse x + y = 9 und x − y = 1. Wie groß ist y?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere: 2x = 10, also x = 5.
Lösung ansehen
Lösung: 4
x = 5, y = 4.
Geschafft
Du löst Systeme mit dem Additionsverfahren.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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