Welches Verfahren passt?
Es gibt drei Verfahren. Je nach Form der Gleichungen ist eines am kürzesten.
Das lernst du heute
- Ich wähle ein passendes Verfahren aus.
- Ich begründe meine Wahl.
- Ich vergleiche den Aufwand.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Das Additionsverfahren
Alle drei Verfahren liefern dasselbe Ergebnis. Sie unterscheiden sich im Aufwand. Gleichsetzen passt, wenn beide Gleichungen nach y aufgelöst sind: y = 2x − 1 und y = −x + 5. Einsetzen passt, wenn eine Gleichung schon nach einer Unbekannten aufgelöst ist: x = 3y und x + y = 12. Addieren passt, wenn bei x oder y gleiche Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen stehen: 2x + y = 7 und 3x − y = 8. Dann fällt y beim Addieren weg und 5x = 15, also x = 3. Entscheide kurz, bevor du rechnest.
| System | Verfahren | Lösung |
|---|---|---|
| y = 2x − 1 und y = −x + 5 | Gleichsetzen | (2|3) |
| x = 3y und x + y = 12 | Einsetzen | (9|3) |
| 2x + y = 7 und 3x − y = 8 | Addieren | (3|1) |
Verfahren wählen und lösen
- System: 2x + y = 7 und 3x − y = 8.
- Bei y stehen +y und −y. Addieren passt.
- I + II: 5x = 15, also x = 3.
- y aus I: 6 + y = 7, also y = 1.
- Probe in II: 3 · 3 − 1 = 8. Stimmt.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Schau auf die Gleichungen.
Steht y allein? Gleichsetzen.
Fallen beim Addieren Variablen weg? Addieren.
Ein Beispiel
Auf dem Weg zur Schule gibt es mehrere Wege. Du nimmst den kürzesten, nicht immer denselben.
Schritt für Schritt
Wir wählen bei x = 3y und x + y = 12
- I ist schon nach x aufgelöst: x = 3y.
- Einsetzen ist günstig.
- 3y + y = 12, also y = 3.
- x = 3 · 3 = 9. Lösung (9|3).
Mit einem Bild erklärt
| Form | Verfahren |
|---|---|
| y = … und y = … | Gleichsetzen |
| x = … oder y = … | Einsetzen |
| +y und −y | Addieren |
Zur Grundlage zurück
- Das Additionsverfahren – Alle drei Verfahren hast du kennengelernt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: Gleichsetzen
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Lösung ansehen
Lösung: Addieren
Tipp: Schau erst auf die Form der Gleichungen. Dann wähle das Verfahren mit dem kürzesten Weg.
Merksatz: Beide nach y: Gleichsetzen. Eine nach x oder y aufgelöst: Einsetzen. Gleiche Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen: Addieren.
Typischer Fehler: Viele benutzen immer dasselbe Verfahren. Dann wird die Rechnung oft länger und fehleranfälliger als nötig.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Löse y = 2x − 1 und y = −x + 5. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
2x − 1 = −x + 5.
Lösung ansehen
Lösung: 2
3x = 6, also x = 2.
Frage 2 Löse 2x + y = 7 und 3x − y = 8. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere beide Gleichungen.
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Lösung: 3
5x = 15, also x = 3.
Lösung ansehen
Lösung: Einsetzen
Frage 4 Löse x = 3y und x + y = 12. Wie groß ist y?
Zeig mir den ersten Schritt
3y + y = 12.
Lösung ansehen
Lösung: 3
4y = 12, also y = 3.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Du wählst das günstigste Verfahren.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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