Keine, eine oder unendlich viele Lösungen
Ein System kann eine Lösung, keine oder unendlich viele haben. Du erkennst das am Graphen und an der Rechnung.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe die drei möglichen Fälle.
- Ich erkenne den Fall an den Geraden.
- Ich erkenne den Fall in der Rechnung.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Das Gleichsetzungsverfahren, Grafisch lösen
Zwei Geraden können sich in einem Punkt schneiden, parallel sein oder aufeinander liegen. Bei einem Schnittpunkt gibt es genau eine Lösung. Bei Parallelen gibt es keine. Beispiel: y = 2x + 1 und y = 2x − 3. Gleichsetzen gibt 2x + 1 = 2x − 3 und damit 1 = −3. Das stimmt nie. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }. Liegen die Geraden aufeinander, gibt es unendlich viele Lösungen. Beispiel: x + y = 4 und 2x + 2y = 8. Die zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten. Beim Rechnen entsteht eine wahre Aussage wie 0 = 0.
| Lage der Geraden | Rechnung | Lösungen |
|---|---|---|
| schneiden sich | x = Zahl | genau eine |
| parallel | falsche Aussage, zum Beispiel 1 = −3 | keine |
| aufeinander | wahre Aussage, zum Beispiel 0 = 0 | unendlich viele |
Den Fall erkennen
- System: x + y = 4 und 2x + 2y = 10.
- Dividiere II durch 2: x + y = 5.
- I sagt x + y = 4, II sagt x + y = 5. Das geht nicht.
- Keine Lösung. Die Geraden sind parallel.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zwei Geraden: schneiden sich, parallel oder gleich.
Schneiden: eine Lösung.
Parallel: keine. Gleich: unendlich viele.
Ein Beispiel
Zwei Schienen laufen parallel und treffen sich nie. Das ist der Fall ohne Lösung.
Schritt für Schritt
Wir untersuchen x + y = 4 und 2x + 2y = 8
- Dividiere II durch 2: x + y = 4.
- II ist dieselbe Gleichung wie I.
- Beide Geraden liegen aufeinander.
- Es gibt unendlich viele Lösungen.
Mit einem Bild erklärt
| Fall | Beispiel |
|---|---|
| eine Lösung | y = x und y = −x + 4 |
| keine | y = 2x + 1 und y = 2x − 3 |
| unendlich viele | x + y = 4 und 2x + 2y = 8 |
Zur Grundlage zurück
- Das Gleichsetzungsverfahren – Du kannst Systeme lösen.
- Grafisch lösen – Die Lage der Geraden kennst du vom Zeichnen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: Keine
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: Unendlich viele
Tipp: Vergleiche zuerst die Steigungen. Gleiches m und verschiedenes b heißt parallel, keine Lösung.
Merksatz: Eine Lösung: Schnittpunkt. Keine Lösung: Parallelen, falsche Aussage. Unendlich viele: gleiche Gerade, wahre Aussage.
Typischer Fehler: Viele denken, ein System hat immer genau eine Lösung. Bei Parallelen und gleichen Geraden stimmt das nicht.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
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Lösung: Keine Lösung
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Lösung: Unendlich viele Lösungen
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Lösung: y = x und y = −x + 4
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Lösung: Stimmt
Frage 5 y = 2x und y = 2x + k haben genau dann keine Lösung, wenn k ≠ 0. Welches k ergibt unendlich viele Lösungen?
Zeig mir den ersten Schritt
Dann müssen beide Geraden gleich sein.
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Lösung: 0
Bei k = 0 sind beide Gleichungen gleich.
Geschafft
Du erkennst, ob ein System keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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