Bruchterme kürzen und erweitern
Wie bei Brüchen kannst du Bruchterme kürzen und erweitern. Gekürzt werden nur Faktoren, nie einzelne Summanden.
Das lernst du heute
- Ich kürze Bruchterme durch gemeinsame Faktoren.
- Ich erweitere Bruchterme.
- Ich erkenne den Fehler, Summanden zu kürzen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Definitionsmenge, Ausklammern
Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch denselben Faktor teilen. Bei (6x) / 9 kürzt du mit 3 und erhältst (2x) / 3. Bei Summen musst du erst einen Faktor sichtbar machen. (3x + 6) / (x + 2): Im Zähler klammerst du 3 aus: 3 · (x + 2). Dann kürzt du (x + 2) und erhältst 3. Das gilt für x ≠ −2. Auch die Formeln helfen: (x² − 9) / (x + 3) = ((x − 3) · (x + 3)) / (x + 3) = x − 3. Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit demselben Term multiplizieren. 3 / x wird mit (x + 2) zu (3x + 6) / (x² + 2x). Die verbotenen Werte des Ausgangsterms bleiben verboten, auch nach dem Kürzen. Beim Erweitern mit einem Term können neue dazukommen: (3x + 6) / (x² + 2x) ist auch bei x = −2 nicht definiert.
| Vorher | Gekürzt | Gilt für |
|---|---|---|
| (6x) / 9 | (2x) / 3 | alle x |
| (3x + 6) / (x + 2) | 3 | x ≠ −2 |
| (x² − 9) / (x + 3) | x − 3 | x ≠ −3 |
Faktoren sichtbar machen
- Term: (x² − 9) / (x + 3).
- Zähler mit der dritten Formel: (x − 3) · (x + 3).
- Gemeinsamer Faktor: (x + 3).
- Kürzen: x − 3.
- Bedingung: x ≠ −3.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Erst Faktoren sichtbar machen.
Dann gleiche Faktoren kürzen.
Nie Summanden kürzen.
Ein Beispiel
Wie bei 6 / 9 = 2 / 3: Du teilst oben und unten durch 3. Bei Termen teilst du durch einen gemeinsamen Faktor.
Schritt für Schritt
Wir kürzen (3x + 6) / (x + 2)
- Zähler: 3x + 6 = 3 · (x + 2).
- Bruch: 3 · (x + 2) / (x + 2).
- Kürze den Faktor (x + 2).
- Ergebnis: 3, für x ≠ −2.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Term |
|---|---|
| Ausklammern | 3 · (x + 2) / (x + 2) |
| Kürzen | 3 |
Zur Grundlage zurück
- Die Definitionsmenge – Die verbotenen Werte merkst du dir.
- Ausklammern – Ausklammern brauchst du zum Kürzen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
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Lösung: 3
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: x − 3
Tipp: Schreibe Zähler und Nenner zuerst als Produkte. Dann siehst du, was sich kürzen lässt.
Merksatz: Kürzen nur bei Faktoren (Produkten). Aus Summen darf man nicht kürzen. Verbotene Werte bleiben verboten.
Typischer Fehler: Viele kürzen (x + 2) / 2 zu x + 1. Das ist falsch: Die 2 im Zähler ist ein Summand. Bei x = 2 ist (2 + 2) / 2 = 2, aber x + 1 = 3.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
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Lösung: (6x) / 9 = (2x) / 3
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Lösung: x + 3
Frage 3 Kürze (12x) / 18. Welche Zahl steht im Zähler vor x? (Der Nenner ist dann 3.)
Zeig mir den ersten Schritt
Teile Zähler und Nenner durch 6.
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Lösung: 2
(12x) / 18 = (2x) / 3.
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Lösung: Stimmt
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Lösung: x + 2
Geschafft
Du kürzt und erweiterst Bruchterme richtig.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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