Mit Bruchtermen rechnen
Bruchterme multiplizierst, dividierst, addierst und subtrahierst du wie Brüche. Du achtest auf die Definitionsmenge.
Das lernst du heute
- Ich addiere und subtrahiere Bruchterme mit gleichem Nenner.
- Ich suche den Hauptnenner.
- Ich multipliziere und dividiere Bruchterme.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Bruchterme kürzen und erweitern, Bruch mal Bruch
Bei gleichem Nenner addierst du die Zähler: 3 / x + 2 / x = 5 / x. Bei verschiedenen Nennern brauchst du den Hauptnenner. 1 / x + 1 / (x + 1): Der Hauptnenner ist x · (x + 1). Erweitere: (x + 1) / (x · (x + 1)) + x / (x · (x + 1)) = (2x + 1) / (x · (x + 1)). Probe mit x = 2: 1 / 2 + 1 / 3 = 5 / 6 und (2 · 2 + 1) / (2 · 3) = 5 / 6. Beim Multiplizieren multiplizierst du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner und kürzt: (2 / x) · (x / 6) = (2x) / (6x) = 1 / 3. Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert: (6 / x) : (3 / x²) = (6 / x) · (x² / 3) = 2x. Dabei gilt immer x ≠ 0, bei 1 / (x + 1) auch x ≠ −1.
| Rechnung | Ergebnis | Wie |
|---|---|---|
| 3 / x + 2 / x | 5 / x | Zähler addieren |
| 1 / x + 1 / (x + 1) | (2x + 1) / (x · (x + 1)) | Hauptnenner |
| (2 / x) · (x / 6) | 1 / 3 | multiplizieren, kürzen |
| (6 / x) : (3 / x²) | 2x | Kehrwert, kürzen |
Addieren mit Hauptnenner
- Aufgabe: 1 / x + 1 / (x + 1).
- Hauptnenner: x · (x + 1).
- Erweitere: (x + 1) / (x · (x + 1)) und x / (x · (x + 1)).
- Zähler addieren: x + 1 + x = 2x + 1.
- Ergebnis: (2x + 1) / (x · (x + 1)). Verboten: 0 und −1.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Gleicher Nenner? Zähler addieren.
Sonst Hauptnenner suchen.
Mal: oben mal oben, unten mal unten.
Ein Beispiel
Du rechnest 1 / 2 + 1 / 3. Der Hauptnenner ist 6. Das Ergebnis ist 5 / 6. Mit Termen geht das genauso.
Schritt für Schritt
Wir rechnen 3 / x + 2 / x
- Gleicher Nenner x.
- Zähler addieren: 3 + 2 = 5.
- Ergebnis: 5 / x.
- Verboten: x = 0.
Mit einem Bild erklärt
| Rechnung | Wert bei x = 1 |
|---|---|
| 3 / x + 2 / x | 5 |
| 5 / x | 5 |
Zur Grundlage zurück
- Bruchterme kürzen und erweitern – Kürzen und Erweitern brauchst du hier.
- Bruch mal Bruch – Brüche multiplizieren kannst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: 5 / x
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: 3 / (x − 1)
Tipp: Prüfe dein Ergebnis mit einer Zahl, zum Beispiel x = 2. Beide Seiten müssen denselben Wert haben.
Merksatz: Addieren: Hauptnenner, Zähler addieren. Multiplizieren: Zähler · Zähler, Nenner · Nenner, kürzen. Dividieren: mit dem Kehrwert multiplizieren.
Typischer Fehler: Viele addieren auch die Nenner: 1 / x + 1 / (x + 1) = 2 / (2x + 1). Das ist falsch. Bei x = 2: 1 / 2 + 1 / 3 = 5 / 6, nicht 2 / 5.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: (2x + 1) / (x · (x + 1))
Frage 2 Berechne den Wert von 1 / x + 1 / (x + 1) für x = 1. Schreibe als Dezimalzahl.
Zeig mir den ersten Schritt
1 / 1 + 1 / 2.
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Lösung: 1,5
1 + 0,5 = 1,5. Probe: (2 + 1) / (1 · 2) = 1,5.
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Lösung: 1 / 3
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Lösung: 2x
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du rechnest sicher mit Bruchtermen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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