Bruchgleichungen lösen
Steht die Unbekannte im Nenner, multiplizierst du die Gleichung mit dem Nenner. Dann löst du sie wie gewohnt und prüfst, ob die Lösung erlaubt ist.
Das lernst du heute
- Ich bestimme zuerst die Definitionsmenge.
- Ich multipliziere mit dem Hauptnenner.
- Ich löse und prüfe die Lösung.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Definitionsmenge, Schritt für Schritt umformen
Eine Bruchgleichung hat die Unbekannte im Nenner, zum Beispiel 6 / x = 3. Vorgehen: Erstens die Definitionsmenge bestimmen: x ≠ 0. Zweitens beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren: 6 = 3x. Drittens lösen: x = 2. Viertens prüfen: 6 / 2 = 3. Stimmt. Bei 2 / (x − 1) = 3 / (x + 1) sind x = 1 und x = −1 verboten. Multipliziere mit beiden Nennern: 2 · (x + 1) = 3 · (x − 1). Das gibt 2x + 2 = 3x − 3 und x = 5. Probe: 2 / 4 = 3 / 6 = 1 / 2. Achtung: Manchmal liegt die Lösung außerhalb der Definitionsmenge. Bei x / (x − 2) = 2 / (x − 2) folgt x = 2. Das ist verboten. Dann ist die Lösungsmenge leer.
| Schritt | 6 / x = 3 |
|---|---|
| D bestimmen | x ≠ 0 |
| Mit x multiplizieren | 6 = 3x |
| Lösen | x = 2 |
| Probe | 6 / 2 = 3 |
Bruchgleichung mit zwei Nennern
- Gleichung: 2 / (x − 1) = 3 / (x + 1).
- D: x ≠ 1 und x ≠ −1.
- Kreuzweise multiplizieren: 2 · (x + 1) = 3 · (x − 1).
- Klammern auflösen: 2x + 2 = 3x − 3. | − 2x | + 3 gibt 5 = x.
- x = 5 liegt in D. Probe: 2 / 4 = 1 / 2 und 3 / 6 = 1 / 2.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Erst verbotene Werte notieren.
Mit dem Nenner multiplizieren.
Lösen. Dann prüfen, ob die Lösung erlaubt ist.
Ein Beispiel
Du teilst 6 Kekse gerecht auf x Kinder. Jedes bekommt 3. Dann ist 6 / x = 3 und x = 2 Kinder.
Schritt für Schritt
Wir lösen 6 / x = 3
- D: x ≠ 0.
- Mit x multiplizieren: 6 = 3x.
- | : 3: x = 2.
- 2 liegt in D.
- Probe: 6 / 2 = 3.
Mit einem Bild erklärt
| x | 6 / x |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
Zur Grundlage zurück
- Die Definitionsmenge – Verbotene Werte bestimmen.
- Schritt für Schritt umformen – Gleichungen lösen kannst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse 6 / x = 3. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere beide Seiten mit x: 6 = 3x.
Lösung ansehen
Lösung: 2
x = 2.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse 12 / x + 1 = 5. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
| − 1 gibt 12 / x = 4.
Lösung ansehen
Lösung: 3
12 = 4x, also x = 3.
Tipp: Prüfe am Ende immer, ob die Lösung zur Definitionsmenge gehört. Sonst ist sie keine Lösung.
Merksatz: Bruchgleichung: D bestimmen → mit Nennern multiplizieren → lösen → mit D vergleichen → Probe.
Typischer Fehler: Viele vergessen die Prüfung gegen D. Dann geben sie eine Zahl an, die den Nenner 0 macht. Das ist keine Lösung.
Mini-Quiz
6 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Löse (x + 3) / x = 2. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Mit x multiplizieren: x + 3 = 2x.
Lösung ansehen
Lösung: 3
x = 3. Probe: 6 / 3 = 2.
Frage 2 Löse 2 / (x − 1) = 3 / (x + 1). Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
Kreuzweise: 2 · (x + 1) = 3 · (x − 1).
Lösung ansehen
Lösung: 5
2x + 2 = 3x − 3, also x = 5.
Lösung ansehen
Lösung: Leer, L = { }
Frage 4 Eine Wanderung von 24 km dauert 6 Stunden: 24 / x = 6. Wie groß ist x (km pro Stunde)?
Zeig mir den ersten Schritt
Mit x multiplizieren: 24 = 6x.
Lösung ansehen
Lösung: 4
x = 4 km pro Stunde.
Frage 5 Löse 5 / (x + 1) = 1. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
5 = x + 1.
Lösung ansehen
Lösung: 4
x = 4. Probe: 5 / 5 = 1.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du löst Bruchgleichungen und beachtest die Definitionsmenge.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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