Ungleichungen aufstellen und lösen
Oft ist nicht ein Wert gesucht, sondern ein Bereich. Du stellst Ungleichungen aus Bedingungen auf und löst sie.
Das lernst du heute
- Ich übersetze Bedingungen in Ungleichungen.
- Ich löse lineare Ungleichungen.
- Ich beachte, wann sich das Zeichen umdreht.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Bruchgleichungen lösen, Grundgebühr und Preis pro Einheit
Ein Taxi kostet 3 Euro Grundpreis plus 2 Euro je Kilometer. Du willst höchstens 25 Euro zahlen. Die Bedingung lautet 3 + 2x ≤ 25. Du löst sie wie eine Gleichung: | − 3 gibt 2x ≤ 22, | : 2 gibt x ≤ 11. Du darfst also höchstens 11 km fahren. Wichtig: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. −2x + 1 > 7: | − 1 gibt −2x > 6, | : (−2) gibt x < −3. Probe: x = −4 gibt 9 > 7. Das stimmt. Bei x = −3 gilt 7 > 7 nicht. Die Lösungsmenge enthält unendlich viele Zahlen. Schreibe L = {x | x < −3}.
| Ungleichung | Umformen | Lösung |
|---|---|---|
| 3 + 2x ≤ 25 | 2x ≤ 22 | x ≤ 11 |
| 3x − 2 ≥ 10 | 3x ≥ 12 | x ≥ 4 |
| −2x + 1 > 7 | −2x > 6 | x < −3 |
Ungleichung mit negativem Faktor
- Aufgabe: −2x + 1 > 7.
- | − 1: −2x > 6.
- | : (−2): Das Zeichen dreht sich. x < −3.
- Probe mit x = −4: −2 · (−4) + 1 = 9 > 7. Stimmt.
- Probe mit x = −3: 7 > 7 stimmt nicht. Also gilt x < −3.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Höchstens heißt ≤.
Mindestens heißt ≥.
Bei einer negativen Zahl dreht sich das Zeichen.
Ein Beispiel
Du darfst höchstens 25 Euro ausgeben. Du kannst auch weniger zahlen. Darum gibt es viele passende Werte.
Schritt für Schritt
Wir lösen 3 + 2x ≤ 25
- | − 3: 2x ≤ 22.
- | : 2: x ≤ 11.
- Das Zeichen bleibt, denn 2 ist positiv.
- Höchstens 11 Kilometer.
Mit einem Bild erklärt
| x | 3 + 2x | höchstens 25? |
|---|---|---|
| 10 | 23 | ja |
| 11 | 25 | ja |
| 12 | 27 | nein |
Zur Grundlage zurück
- Bruchgleichungen lösen – Gleichungen löst du hier sicher.
- Grundgebühr und Preis pro Einheit – Preisfunktionen als Beispiel.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse 3 + 2x ≤ 25. Was ist der größte ganzzahlige Wert von x?
Zeig mir den ersten Schritt
| − 3 und | : 2.
Lösung ansehen
Lösung: 11
x ≤ 11. Der größte ganze Wert ist 11.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse x + 5 < 9. Was ist der größte ganzzahlige Wert von x?
Zeig mir den ersten Schritt
| − 5 gibt x < 4.
Lösung ansehen
Lösung: 3
x < 4. Der größte ganze Wert ist 3.
Tipp: Prüfe mit einer Zahl aus der Lösung und einer knapp außerhalb. So siehst du, ob das Zeichen stimmt.
Merksatz: Ungleichung wie Gleichung lösen. Mal oder geteilt durch eine negative Zahl: Zeichen umdrehen.
Typischer Fehler: Viele vergessen das Umdrehen bei negativen Zahlen. Aus −2x > 6 wird dann x > −3. Die Probe mit x = 0 zeigt den Fehler: 1 > 7 stimmt nicht.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: x < −3
Lösung ansehen
Lösung: x ≥ 4
Frage 3 Ein Tarif kostet 0,05x + 8 Euro. Er soll höchstens 15 Euro kosten. Wie viele Minuten sind höchstens möglich?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 0,05x + 8 ≤ 15.
Lösung ansehen
Lösung: 140
0,05x ≤ 7, also x ≤ 140.
Frage 4 Ein Paket enthält 4 Äpfel. Du brauchst mindestens 30 Äpfel. Wie viele Pakete mindestens?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 4x ≥ 30.
Lösung ansehen
Lösung: 8
x ≥ 7,5. Du brauchst 8 Pakete.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du stellst Ungleichungen auf und löst sie.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Bruchterme und Bruchgleichungen
Kurz erklärt, 46 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen