Die Definitionsmenge
Durch null darf man nicht teilen. Deshalb sind manche Werte für x verboten. Du bestimmst, welche.
Das lernst du heute
- Ich weiß, warum der Nenner nicht 0 sein darf.
- Ich bestimme die Definitionsmenge eines Bruchterms.
- Ich schreibe sie als D = ℚ \ {…}.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Was ist ein Bruchterm?, Die dritte Formel: Summe mal Differenz
Du darfst nicht durch 0 teilen. Darum muss der Nenner immer von 0 verschieden sein. Bei 7 / (x + 4) wäre der Nenner 0, wenn x = −4 ist. Dieser Wert ist verboten. Alle anderen Zahlen sind erlaubt. Die Menge der erlaubten Zahlen heißt Definitionsmenge D. Du schreibst D = ℚ \ {−4}. Das heißt: alle rationalen Zahlen außer −4. Bei (x − 1) / (2x − 10) setzt du 2x − 10 = 0. Das gibt x = 5. Also D = ℚ \ {5}. Der Zähler darf 0 sein. Bei 3 / (x² − 9) wird der Nenner 0 für x = 3 und x = −3. Dort hilft die dritte Formel: x² − 9 = (x − 3) · (x + 3).
| Bruchterm | Nenner gleich 0 | Definitionsmenge |
|---|---|---|
| 7 / (x + 4) | x = −4 | ℚ \ {−4} |
| (x − 1) / (2x − 10) | x = 5 | ℚ \ {5} |
| 3 / (x² − 9) | x = 3 oder x = −3 | ℚ \ {−3; 3} |
Nenner gleich 0 setzen
- Term: 4 / (x² − 4x).
- Nenner: x² − 4x = x · (x − 4).
- Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist: x = 0 oder x = 4.
- Verboten sind 0 und 4.
- D = ℚ \ {0; 4}.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Nenner gleich 0 setzen.
Diese Zahl ist verboten.
Alle anderen sind erlaubt.
Ein Beispiel
12 Äpfel sollen auf x Kinder verteilt werden. Bei x = 0 gibt es keine Verteilung. Der Nenner darf nie 0 sein.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen D für 7 / (x + 4)
- Nenner gleich 0: x + 4 = 0.
- x = −4.
- Dieser Wert ist verboten.
- D = ℚ \ {−4}.
Mit einem Bild erklärt
| x | x + 4 | Darf x sein? |
|---|---|---|
| −4 | 0 | nein |
| 0 | 4 | ja |
Zur Grundlage zurück
- Was ist ein Bruchterm? – Du weißt, was ein Bruchterm ist.
- Die dritte Formel: Summe mal Differenz – Die dritte Formel hilft bei x² − 9.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: x = −4
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Welcher Wert ist bei (x − 1) / (2x − 10) verboten?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 2x − 10 = 0.
Lösung ansehen
Lösung: 5
2x = 10, also x = 5.
Tipp: Löse zuerst die Gleichung Nenner = 0. Die Lösungen sind die verbotenen Werte.
Merksatz: Nenner = 0 setzen und lösen. Diese Werte gehören nicht zur Definitionsmenge.
Typischer Fehler: Viele schließen den Wert aus, bei dem der Zähler 0 ist. Der Zähler darf 0 sein. Nur der Nenner darf nicht 0 sein.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: x = 3 und x = −3
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Lösung: x = 0 und x = 4
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Lösung: Stimmt
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Lösung: D = ℚ \ {2}
Frage 5 5 / (3x − 12). Welcher Wert ist verboten?
Zeig mir den ersten Schritt
3x − 12 = 0.
Lösung ansehen
Lösung: 4
3x = 12, also x = 4.
Geschafft
Du bestimmst die Definitionsmenge eines Bruchterms.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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