Wurzeln als Potenzen schreiben
Wurzeln lassen sich als Potenzen mit Bruch im Exponenten schreiben. Das passt zu den Potenzgesetzen.
Das lernst du heute
- Ich schreibe Wurzeln als Potenzen.
- Ich berechne Potenzen mit einem Bruch als Exponenten.
- Ich wechsle zwischen Wurzel- und Potenzschreibweise.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Kubikwurzeln und andere Wurzeln, Potenzgesetze bei gleicher Basis
Die Quadratwurzel kennst du: √9 = 3, weil 3² = 9. Sie lässt sich auch als Potenz schreiben: √9 = 9^(ein halb).
Warum? Nach dem Potenzgesetz (aᵐ)ⁿ = a^(m · n) gilt: (9^(ein halb))² = 9^(ein halb · 2) = 9¹ = 9. Die Zahl 9^(ein halb) ergibt quadriert 9. Also ist 9^(ein halb) = √9 = 3.
Allgemein: Die n-te Wurzel von a ist a^(1/n). Zum Beispiel ist ∛27 = 27^(ein Drittel) = 3, weil 3³ = 27. Und ⁴√16 = 16^(ein Viertel) = 2, weil 2⁴ = 16.
Auch andere Brüche im Exponenten sind möglich: a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ. Beispiel: 8^(zwei Drittel) = (∛8)² = 2² = 4.
| Wurzel | Potenz | Wert |
|---|---|---|
| √9 | 9^(ein halb) | 3 |
| ∛27 | 27^(ein Drittel) | 3 |
| ⁴√16 | 16^(ein Viertel) | 2 |
| (∛8)² | 8^(zwei Drittel) | 4 |
| (√4)³ | 4^(drei Halbe) | 8 |
8^(zwei Drittel) berechnen
- Der Nenner 3 sagt: dritte Wurzel. Der Zähler 2 sagt: zum Quadrat.
- ∛8 = 2, weil 2³ = 8.
- 2² = 4.
- Also ist 8^(zwei Drittel) = 4.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Hoch ein Halb heißt: Quadratwurzel.
Hoch ein Drittel heißt: dritte Wurzel.
Der Nenner nennt die Wurzel.
Ein Beispiel
Ein Quadrat hat die Fläche 9 cm². Seine Seitenlänge ist √9 = 9^(ein halb) = 3, also 3 cm.
Schritt für Schritt
Wir berechnen 27^(ein Drittel)
- Der Exponent ein Drittel heißt: dritte Wurzel.
- Gesucht ist die Zahl, die dreimal mit sich multipliziert 27 ergibt.
- 3 · 3 · 3 = 27.
- Also ist 27^(ein Drittel) = 3.
Mit einem Bild erklärt
| Potenz | Frage | Antwort |
|---|---|---|
| 27^(ein Drittel) | Welche Zahl hoch 3 ist 27? | 3 |
| 16^(ein Viertel) | Welche Zahl hoch 4 ist 16? | 2 |
Zur Grundlage zurück
- Kubikwurzeln und andere Wurzeln – Du kennst Wurzeln schon.
- Potenzgesetze bei gleicher Basis – Du brauchst das Potenzgesetz (aᵐ)ⁿ = a^(m · n).
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Berechne 25^(ein halb).
Zeig mir den ersten Schritt
Hoch ein halb bedeutet Quadratwurzel.
Lösung ansehen
Lösung: 5
√25 = 5.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Berechne 27^(ein Drittel).
Zeig mir den ersten Schritt
Hoch ein Drittel bedeutet dritte Wurzel.
Lösung ansehen
Lösung: 3
3 · 3 · 3 = 27, also ist 27^(ein Drittel) = 3.
Tipp: Der Nenner des Exponenten sagt, welche Wurzel gezogen wird. Der Zähler sagt, mit welchem Exponenten du danach potenzierst.
Merksatz: a^(1/n) ist die n-te Wurzel von a. a^(m/n) ist die n-te Wurzel von a, hoch m.
Typischer Fehler: Viele rechnen 9^(ein halb) als 9 : 2 = 4,5. Das ist falsch. Der Exponent ein halb bedeutet Wurzel ziehen: 9^(ein halb) = 3.
Mini-Quiz
6 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Berechne 64^(ein Drittel).
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Zahl hoch 3 ergibt 64?
Lösung ansehen
Lösung: 4
4³ = 64.
Frage 2 Berechne 81^(ein Viertel).
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Zahl hoch 4 ergibt 81?
Lösung ansehen
Lösung: 3
3⁴ = 81.
Frage 3 Berechne 8^(zwei Drittel).
Zeig mir den ersten Schritt
Erst die dritte Wurzel von 8, dann zum Quadrat.
Lösung ansehen
Lösung: 4
∛8 = 2 und 2² = 4.
Lösung ansehen
Lösung: 7^(ein halb)
Frage 5 Berechne 4^(drei Halbe).
Zeig mir den ersten Schritt
Erst die Quadratwurzel von 4, dann hoch 3.
Lösung ansehen
Lösung: 8
√4 = 2 und 2³ = 8.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Wurzeln sind Potenzen mit Bruch im Exponenten. Der Nenner gibt die Art der Wurzel an.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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