Wie lange dauert es? Zeiten berechnen
Mit dem Logarithmus berechnest du, nach wie vielen Zeitabschnitten ein Wert erreicht wird. Das gilt für Wachstum und Zerfall.
Das lernst du heute
- Ich stelle eine Exponentialgleichung für eine Zeitfrage auf.
- Ich löse sie mit dem Logarithmus und runde sinnvoll.
- Ich prüfe mit einer Probe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen, Wie lange dauert es? Laufzeit durch Probieren
Bei Wachstum und Zerfall fragt man oft: Nach wie vielen Zeitabschnitten ist ein Wert erreicht? Das ist eine Exponentialgleichung, bei der die Zeit im Exponenten steht.
Beispiel: 1 000 € werden mit 5 % pro Jahr verzinst. Wann ist das Geld erstmals verdoppelt? Der Faktor ist 1,05. Es muss gelten: 1 000 · 1,05ᵗ = 2 000. Teile durch 1 000: 1,05ᵗ = 2. Dann ist t = log(2) : log(1,05) ≈ 14,2.
Nach 14 Jahren ist das Ziel noch nicht erreicht, denn 1,05¹⁴ ≈ 1,98. Nach 15 Jahren schon: 1,05¹⁵ ≈ 2,08. Die Antwort ist also: nach 15 Jahren.
Bei Zerfall ist der Faktor kleiner als 1. Dann ist log(Faktor) negativ. Auch der Zielwert ist kleiner als 1, also ist auch log(Zielwert) negativ. Minus geteilt durch minus ergibt plus: t ist positiv.
| Jahr t | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|
| Faktor 1,05ᵗ | 1,886 | 1,980 | 2,079 |
| mindestens verdoppelt? | nein | nein | ja |
Zerfall: Wann bleibt weniger als 10 % übrig?
- Jeden Tag bleiben 80 %. Faktor: 0,8.
- Gesucht: 0,8ᵗ = 0,1.
- t = log(0,1) : log(0,8) = (−1) : (−0,09691) ≈ 10,3.
- Probe: 0,8¹⁰ ≈ 0,107 ist noch mehr als 0,1. 0,8¹¹ ≈ 0,086 ist weniger.
- Antwort: Nach 11 Tagen sind es erstmals weniger als 10 %.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Faktor aufschreiben.
Gleichung: Faktor hoch t gleich Ziel.
t = log(Ziel) : log(Faktor). Dann passend runden.
Ein Beispiel
Wie oft muss ein Wert mit 1,5 multipliziert werden, bis er zehnmal so groß ist? Du rechnest t = log(10) : log(1,5) ≈ 5,7. Nach 6 Schritten ist es erreicht.
Schritt für Schritt
Wir lösen 100 · 1,5ᵗ = 1 000
- Teile durch 100: 1,5ᵗ = 10.
- t = log(10) : log(1,5) ≈ 1 : 0,17609 ≈ 5,7.
- Probe: 1,5⁵ ≈ 7,6 (zu klein), 1,5⁶ ≈ 11,4 (groß genug).
- Nach 6 Stunden sind es mehr als 1 000.
Mit einem Bild erklärt
| t | 5 | 6 |
|---|---|---|
| 100 · 1,5ᵗ | 759 | 1 139 |
Zur Grundlage zurück
- Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen – Du löst die Gleichungen mit dem Logarithmus.
- Wie lange dauert es? Laufzeit durch Probieren – Das Probieren bei der Laufzeit hast du schon geübt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Eine Kultur hat 100 Zellen und wächst stündlich mit dem Faktor 1,5. Nach wie vielen Stunden sind es erstmals mehr als 1 000?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 1,5ᵗ = 10.
Lösung ansehen
Lösung: 6
t = log(10) : log(1,5) ≈ 5,7. Nach 5 Stunden sind es 759, nach 6 Stunden 1 139.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Von einem Stoff bleiben jeden Tag 80 % übrig (Faktor 0,8). Nach wie vielen Tagen ist erstmals weniger als 10 % der Anfangsmenge übrig?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 0,8ᵗ = 0,1.
Lösung ansehen
Lösung: 11
t ≈ 10,3. Nach 10 Tagen sind es noch etwa 10,7 %, nach 11 Tagen etwa 8,6 %.
Tipp: Runde bei Zeitfragen so, dass das Ziel auch wirklich erreicht ist. Prüfe die Nachbarwerte mit einer Probe.
Merksatz: Zeit gesucht: Stelle die Gleichung faktorᵗ = Zielwert auf und rechne t = log(Zielwert) : log(Faktor). Dann runde passend und prüfe.
Typischer Fehler: Viele runden 14,2 Jahre auf 14 Jahre ab. Dann ist das Ziel noch nicht erreicht. Bei „erstmals mehr als“ und „erstmals weniger als“ rundest du auf.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Betrag wächst jährlich um 3 %. Nach wie vielen Jahren ist er erstmals mehr als verdoppelt?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 1,03ᵗ = 2.
Lösung ansehen
Lösung: 24
t = log(2) : log(1,03) ≈ 23,4. Nach 23 Jahren ist der Faktor etwa 1,97, nach 24 Jahren etwa 2,03.
Frage 2 2 000 € werden mit 4 % pro Jahr verzinst. Nach wie vielen Jahren sind es erstmals mehr als 3 000 €?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 1,04ᵗ = 1,5.
Lösung ansehen
Lösung: 11
t ≈ 10,3. Nach 10 Jahren ist der Faktor etwa 1,48, nach 11 Jahren etwa 1,54.
Lösung ansehen
Lösung: t = log(2) : log(1,05)
Frage 4 Von einem Stoff wird jeden Tag die Hälfte abgebaut (Faktor 0,5). Nach wie vielen Tagen ist erstmals weniger als 1 % der Anfangsmenge übrig?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 0,5ᵗ = 0,01.
Lösung ansehen
Lösung: 7
t ≈ 6,6. Nach 6 Tagen sind es etwa 1,6 %, nach 7 Tagen etwa 0,8 %.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Zeitfragen bei Wachstum und Zerfall löst du mit t = log(Zielwert) : log(Faktor). Anschließend rundest du passend.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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