Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen
Mit dem Logarithmus löst du jede Exponentialgleichung bˣ = c mit positivem c. Du formst zuerst um und rechnest dann mit dem Taschenrechner.
Das lernst du heute
- Ich löse bˣ = c mit x = log(c) : log(b).
- Ich isoliere die Potenz, wenn ein Faktor davor steht.
- Ich mache eine Probe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Logarithmen mit dem Taschenrechner, Schritt für Schritt umformen
Die Gleichung bˣ = c löst du mit dem Logarithmus: x = log_b(c). Mit dem Taschenrechner heißt das x = log(c) : log(b).
Beispiel: 3ˣ = 200. Dann ist x = log(200) : log(3) ≈ 2,30103 : 0,47712 ≈ 4,82. Das passt zur Einschachtelung zwischen 4 und 5.
Steht vor der Potenz ein Faktor, teilst du zuerst durch ihn. Beispiel: 5 · 2ˣ = 320. Teile durch 5: 2ˣ = 64. Dann ist x = log(64) : log(2) = 6.
So gehst du vor: 1. Potenz allein auf eine Seite bringen. 2. Logarithmus rechnen: x = log(c) : log(b). 3. Runden. 4. Probe: Setze x in die Gleichung ein.
| Gleichung | Umformung | Lösung |
|---|---|---|
| 3ˣ = 200 | x = log(200) : log(3) | x ≈ 4,8 |
| 5 · 2ˣ = 320 | 2ˣ = 64, x = log(64) : log(2) | x = 6 |
| 1,5ˣ = 100 | x = log(100) : log(1,5) | x ≈ 11,4 |
5 · 2ˣ = 160 lösen
- Teile durch 5: 2ˣ = 32.
- x = log(32) : log(2).
- log(32) ≈ 1,50515 und log(2) ≈ 0,30103.
- 1,50515 : 0,30103 = 5.
- Probe: 5 · 2⁵ = 5 · 32 = 160.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Erst durch den Faktor teilen.
Dann x = log(c) : log(b).
Dann Probe.
Ein Beispiel
Du suchst, wie oft sich eine Kultur verdoppeln muss, um 1 000 Zellen zu erreichen. Du löst 2ˣ = 1 000 mit dem Logarithmus.
Schritt für Schritt
Wir lösen 4 · 3ˣ = 324
- Teile durch 4: 3ˣ = 81.
- x = log(81) : log(3).
- log(81) ≈ 1,90849 und log(3) ≈ 0,47712.
- 1,90849 : 0,47712 = 4.
- Probe: 4 · 3⁴ = 4 · 81 = 324.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Gleichung |
|---|---|
| Start | 4 · 3ˣ = 324 |
| durch 4 | 3ˣ = 81 |
| Logarithmus | x = log(81) : log(3) = 4 |
Zur Grundlage zurück
- Logarithmen mit dem Taschenrechner – Du brauchst die Umrechnung mit der log-Taste.
- Schritt für Schritt umformen – Das Umformen hast du bei Gleichungen geübt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse 2ˣ = 1 024.
Zeig mir den ersten Schritt
x = log(1 024) : log(2).
Lösung ansehen
Lösung: 10
log(1 024) ≈ 3,0103, log(2) ≈ 0,30103. Der Quotient ist 10.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse 4 · 3ˣ = 324.
Zeig mir den ersten Schritt
Teile zuerst durch 4.
Lösung ansehen
Lösung: 4
3ˣ = 81, also x = 4.
Tipp: Bringe die Potenz zuerst allein auf eine Seite. Erst dann benutzt du den Logarithmus.
Merksatz: bˣ = c hat die Lösung x = log(c) : log(b). Steht ein Faktor vor der Potenz, teilst du zuerst durch ihn.
Typischer Fehler: Viele rechnen bei 5 · 2ˣ = 320 sofort log(320) : log(2). Das ignoriert die 5. Teile zuerst durch 5. Erst dann gilt 2ˣ = 64.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Löse 5 · 2ˣ = 160.
Zeig mir den ersten Schritt
Teile zuerst durch 5. Dann gilt 2ˣ = 32.
Lösung ansehen
Lösung: 5
x = log(32) : log(2) = 5.
Frage 2 Löse 2ˣ = 512.
Zeig mir den ersten Schritt
x = log(512) : log(2).
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Lösung: 9
2⁹ = 512.
Frage 3 Löse 3ˣ = 100. Runde auf eine Nachkommastelle.
Zeig mir den ersten Schritt
x = log(100) : log(3).
Lösung ansehen
Lösung: 4,2
2 : 0,47712 ≈ 4,19, also 4,2.
Lösung ansehen
Lösung: durch 5 teilen
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Lösung: Stimmt
Geschafft
Du löst bˣ = c mit x = log(c) : log(b). Vor dem Logarithmus musst du die Potenz allein stellen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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