Potenzgesetze bei gleicher Basis
Bei gleicher Basis rechnest du mit den Exponenten: mal heißt plus, geteilt heißt minus, Potenz einer Potenz heißt mal.
Das lernst du heute
- Ich wende die drei Potenzgesetze bei gleicher Basis an.
- Ich vereinfache Terme mit Variablen.
- Ich erkenne, wann die Gesetze nicht gelten.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Negative Exponenten als Bruch, Mit Zehnerpotenzen rechnen und vergleichen
Bei Potenzen mit gleicher Basis kannst du Rechnungen vereinfachen. Drei Gesetze helfen. Erstes Gesetz: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Du addierst die Exponenten. Beispiel: 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 2⁷ = 128. Zweites Gesetz: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Du subtrahierst die Exponenten. Beispiel: 5⁶ : 5² = 5⁴ = 625. Drittes Gesetz: (aᵐ)ⁿ = a^(m · n). Du multiplizierst die Exponenten. Beispiel: (3²)³ = 3⁶ = 729. Die Gesetze gelten auch mit Variablen: x⁵ · x² = x⁷ und (y²)⁴ = y⁸. Ist beim Teilen der zweite Exponent größer, entsteht ein negativer Exponent: 2³ : 2⁵ = 2⁻² = ein Viertel.
| Gesetz | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Mal | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ |
| Geteilt | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| Potenz einer Potenz | (aᵐ)ⁿ = a^(m · n) | (3²)³ = 3⁶ |
a⁵ · a³ : a⁴ vereinfachen
- Erst das Mal: a⁵ · a³ = a⁵⁺³ = a⁸.
- Dann das Geteilt: a⁸ : a⁴ = a⁸⁻⁴ = a⁴.
- Ergebnis: a⁴.
- Probe mit a = 2: 32 · 8 : 16 = 16 und 2⁴ = 16.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Gleiche Basis.
Mal: Exponenten (Hochzahlen) plus.
Geteilt: Exponenten minus.
Ein Beispiel
2³ · 2⁴ sind drei und vier Faktoren 2. Zusammen sind es sieben Faktoren 2. Darum ist es 2⁷. So entsteht das erste Gesetz.
Schritt für Schritt
Wir vereinfachen x⁶ · x² : x³
- Erst das Mal: x⁶ · x² = x⁸.
- Dann das Geteilt: x⁸ : x³ = x⁵.
- Ergebnis: x⁵.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung | Exponent |
|---|---|---|
| Mal | x⁶ · x² | 6 + 2 = 8 |
| Geteilt | x⁸ : x³ | 8 − 3 = 5 |
| Ergebnis | x⁵ | 5 |
Zur Grundlage zurück
- Negative Exponenten als Bruch – Negative Exponenten brauchst du, wenn unten der größere Exponent steht.
- Mit Zehnerpotenzen rechnen und vergleichen – Mit Zehnerpotenzen hast du diese Gesetze schon benutzt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
5⁶ : 5² = 5ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Beim Teilen subtrahierst du die Exponenten.
Lösung ansehen
Lösung: 4
6 − 2 = 4.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
(2³)² = 2ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Bei einer Potenz einer Potenz multiplizierst du die Exponenten.
Lösung ansehen
Lösung: 6
3 · 2 = 6.
Tipp: Gleiche Basis? Dann schau nur auf die Exponenten: mal heißt plus, geteilt heißt minus, Potenz einer Potenz heißt mal.
Merksatz: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. (aᵐ)ⁿ = a^(m · n). Die Basis muss gleich sein.
Typischer Fehler: Viele multiplizieren die Exponenten beim Malnehmen: a³ · a⁴ = a¹². Richtig ist a⁷. Außerdem lässt sich a³ + a⁴ nicht zu a⁷ zusammenfassen. Die Gesetze gelten für Produkte und Quotienten, nicht für Summen.
Mini-Quiz
6 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: a⁸
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Lösung: x⁶
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Lösung: b¹⁰
Frage 4 2⁴ · 2³ = 2ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Gleiche Basis, mal: Die Exponenten werden addiert.
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Lösung: 7
4 + 3 = 7.
Frage 5 Wie viel ist 3² · 3³?
Zeig mir den ersten Schritt
3² · 3³ = 3⁵.
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Lösung: 243
3⁵ = 243. Probe: 9 · 27 = 243.
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du vereinfachst Potenzen mit gleicher Basis mit drei Gesetzen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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