Negative Exponenten als Bruch
Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert. Du wechselst zwischen Bruch und Potenz hin und her.
Das lernst du heute
- Ich schreibe eine Potenz mit negativem Exponenten als Bruch.
- Ich schreibe einen Bruch wie 1/81 als Potenz.
- Ich erkläre, warum a⁰ = 1 gilt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen, Potenzen: Basis und Exponent
Du kennst 10⁻³ = 0,001. Das ist ein Bruch: 0,001 = ein Tausendstel = ein Zehntel³. Das gilt für jede Basis: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, wenn a nicht 0 ist. Beispiel: 2⁻³ = ein halb³ = ein Achtel. Ein negativer Exponent macht die Zahl also nicht negativ. Er bedeutet den Kehrwert. Warum ist das so? Schau auf ein Muster: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Mit jedem Schritt nach unten halbiert sich der Wert. So geht es weiter: 2⁰ = 1, 2⁻¹ = ein halb, 2⁻² = ein Viertel, 2⁻³ = ein Achtel. Dasselbe Muster zeigt: a⁰ = 1 für jede Zahl a außer 0. Rückwärts: Ein Bruch wird zur Potenz. ein 81stel = ein Drittel⁴ = 3⁻⁴ und ein Tausendstel = 10⁻³. Steht ein Bruch in der Basis, vertauschst du Zähler und Nenner: (ein halb)⁻² = 2² = 4.
| Potenz | 2³ | 2² | 2¹ | 2⁰ | 2⁻¹ | 2⁻² | 2⁻³ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 8 | 4 | 2 | 1 | ein halb | ein Viertel | ein Achtel |
Von der Potenz zum Bruch
- Aufgabe: 5⁻² als Bruch.
- Negativer Exponent: Bilde den Kehrwert.
- 5⁻² = ein Fünftel².
- 5² = 25.
- Also ist 5⁻² = ein 25stel.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Negativer Exponent heißt: Kehrwert.
2⁻¹ ist ein halb.
2⁻² ist ein Viertel.
Ein Beispiel
Du halbierst ein Seil wieder und wieder. Danach hast du ein halb, ein Viertel, ein Achtel vom Seil. Das sind 2⁻¹, 2⁻² und 2⁻³.
Schritt für Schritt
Wir schreiben ein 81stel als Potenz
- 81 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴.
- Also ist ein 81stel = ein Drittel⁴.
- Den Bruch ein Drittel⁴ schreibst du als 3⁻⁴.
- Ergebnis: ein 81stel = 3⁻⁴.
Mit einem Bild erklärt
| Potenz | Bruch | Dezimalzahl |
|---|---|---|
| 10⁻¹ | ein Zehntel | 0,1 |
| 10⁻² | ein Hundertstel | 0,01 |
| 10⁻³ | ein Tausendstel | 0,001 |
Zur Grundlage zurück
- Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen – 10⁻³ = 0,001 kennst du schon. Hier verallgemeinerst du es.
- Potenzen: Basis und Exponent – Du brauchst Potenzen und ihre Werte.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
3⁻² = 1/n. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
3⁻² = ein Drittel². Rechne 3².
Lösung ansehen
Lösung: 9
3² = 9, also 3⁻² = ein Neuntel.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
4⁻³ = 1/n. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
4⁻³ = ein Viertel³. Rechne 4³.
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Lösung: 64
4 · 4 · 4 = 64.
Tipp: Das Minus im Exponenten macht die Zahl nicht negativ. Es verschiebt die Potenz in den Nenner.
Merksatz: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0). Und a⁰ = 1 (a ≠ 0).
Typischer Fehler: Viele rechnen 2⁻³ = −8 oder −6. Beides stimmt nicht. 2⁻³ = ein halb³ = ein Achtel. Der Wert ist positiv und kleiner als 1.
Mini-Quiz
6 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 2⁻³ = 1/n. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
2⁻³ = ein halb³.
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Lösung: 8
2³ = 8.
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Lösung: ein 25stel
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Lösung: 10⁻³
Frage 4 Wie viel ist 7⁰?
Zeig mir den ersten Schritt
Denke an das Muster: Jeder Schritt nach unten teilt durch die Basis.
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Lösung: 1
a⁰ = 1 für jede Zahl a außer 0.
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Lösung: Stimmt nicht
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Lösung: 2⁻⁶
Geschafft
Du wechselst zwischen negativen Exponenten und Brüchen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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