Mit Zehnerpotenzen rechnen und vergleichen
Mit Zehnerpotenzen rechnest du riesige und winzige Zahlen leicht. Du multiplizierst, dividierst, addierst und vergleichst.
Das lernst du heute
- Ich multipliziere und dividiere Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise.
- Ich addiere Zahlen mit gleichem Exponenten.
- Ich vergleiche zwei Zahlen anhand von Exponent und Vorfaktor.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen, Dezimalzahl mal Dezimalzahl
Zehnerpotenzen helfen beim Rechnen mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen. Malnehmen: Multipliziere die Vorfaktoren und addiere die Exponenten. (3 · 10⁴) · (2 · 10³) = 6 · 10⁷. Das stimmt, denn 10⁴ · 10³ = 10 000 · 1000 = 10 000 000 = 10⁷. Die Nullen werden zusammengezählt. Ist der Vorfaktor danach 10 oder größer, passt du ihn an: (4 · 10⁵) · (5 · 10²) = 20 · 10⁷ = 2 · 10⁸. Teilen: Teile die Vorfaktoren und subtrahiere die Exponenten. (6 · 10⁸) : (2 · 10³) = 3 · 10⁵. Plus und minus rechnest du so direkt nur bei gleichem Exponenten: 3 · 10⁴ + 5 · 10⁴ = 8 · 10⁴. Vergleichen: Wenn beide Zahlen einen Vorfaktor von 1 bis unter 10 haben, zählt zuerst der Exponent. Dann zählt der Vorfaktor. So ist 2 · 10⁶ größer als 9 · 10⁵. Ein Beispiel: Licht legt etwa 3 · 10⁵ km in einer Sekunde zurück. Von der Sonne zur Erde braucht es rund 500 Sekunden. Das sind (3 · 10⁵) · (5 · 10²) = 15 · 10⁷ = 1,5 · 10⁸ km.
| Rechenart | Vorfaktoren | Exponenten |
|---|---|---|
| mal | mal | plus |
| geteilt | geteilt | minus |
| plus und minus | plus und minus (nur bei gleichem Exponenten) | bleiben gleich |
(4 · 10⁵) · (5 · 10²) berechnen
- Vorfaktoren: 4 · 5 = 20.
- Exponenten: 5 + 2 = 7.
- Zwischenergebnis: 20 · 10⁷.
- 20 ist größer als 10. Schreibe deshalb 20 = 2 · 10.
- 20 · 10⁷ = 2 · 10 · 10⁷ = 2 · 10⁸.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Mal: Vorfaktoren mal, Exponenten (Hochzahlen) plus.
Geteilt: Vorfaktoren geteilt, Exponenten minus.
Zum Schluss den Vorfaktor prüfen.
Ein Beispiel
Zwei Strecken sind 3 · 10⁴ m und 2 · 10⁴ m lang. Zusammen sind sie 5 · 10⁴ m lang. Du addierst nur die Vorfaktoren.
Schritt für Schritt
Wir rechnen (3 · 10⁴) · (2 · 10³)
- Vorfaktoren: 3 · 2 = 6.
- Exponenten: 4 + 3 = 7.
- Ergebnis: 6 · 10⁷.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Vorfaktor | Exponent |
|---|---|---|
| Start | 3 und 2 | 4 und 3 |
| Rechnen | 3 · 2 = 6 | 4 + 3 = 7 |
| Ergebnis | 6 | 7 |
Zur Grundlage zurück
- Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen – Mit kleinen Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise bist du jetzt vertraut.
- Dezimalzahl mal Dezimalzahl – Das Malnehmen von Dezimalzahlen brauchst du für die Vorfaktoren.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
(3 · 10⁴) · (2 · 10³) = 6 · 10ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere die Exponenten 4 und 3.
Lösung ansehen
Lösung: 7
4 + 3 = 7.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Eine Sonde fliegt 2 · 10⁴ km pro Stunde. Sie fliegt 5 · 10² Stunden lang. Wie viele Kilometer sind das? Schreibe die Zahl ohne Zehnerpotenz.
Zeig mir den ersten Schritt
Vorfaktoren: 2 · 5 = 10. Exponenten: 4 + 2 = 6.
Lösung ansehen
Lösung: 10000000
10 · 10⁶ = 10⁷ = 10 000 000.
Tipp: Prüfe am Ende, ob der Vorfaktor mindestens 1 und kleiner als 10 ist. Wenn nicht, passe ihn an.
Merksatz: Mal: Vorfaktoren mal, Exponenten plus. Geteilt: Vorfaktoren geteilt, Exponenten minus. Plus und minus: nur bei gleichem Exponenten.
Typischer Fehler: Viele multiplizieren die Exponenten: 10⁴ · 10³ = 10¹². Richtig ist 10⁷, denn 4 + 3 = 7. Beim Addieren bleibt der Exponent stehen: 3 · 10⁴ + 5 · 10⁴ = 8 · 10⁴, nicht 8 · 10⁸.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 (6 · 10⁸) : (2 · 10³) = 3 · 10ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Beim Teilen subtrahierst du die Exponenten.
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Lösung: 5
8 − 3 = 5.
Lösung ansehen
Lösung: 2 · 10⁸
Lösung ansehen
Lösung: 2 · 10⁶
Lösung ansehen
Lösung: 8 · 10⁴
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Lösung: Stimmt
Geschafft
Du rechnest und vergleichst mit Zehnerpotenzen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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