Kubikwurzeln und andere Wurzeln
Die Kubikwurzel kehrt das Potenzieren mit dem Exponenten 3 um. Es gibt auch vierte, fünfte und weitere Wurzeln.
Das lernst du heute
- Ich bestimme Kubikwurzeln wie ³√27.
- Ich erkläre die Schreibweise ⁿ√a.
- Ich berechne die Kantenlänge eines Würfels aus dem Volumen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens, Quadratzahlen und Quadratwurzeln
Ein Würfel hat das Volumen 27 cm³. Wie lang ist die Kante? Du suchst die Zahl, die dreimal als Faktor 27 ergibt: 3 · 3 · 3 = 27. Das ist die Kubikwurzel, auch dritte Wurzel genannt. Man schreibt ³√27 = 3. Sie macht das Potenzieren mit 3 rückgängig, so wie die Quadratwurzel das Quadrieren. Es gibt auch vierte und fünfte Wurzeln. ⁴√16 = 2, denn 2⁴ = 16. ⁵√32 = 2, denn 2⁵ = 32. Allgemein bedeutet ⁿ√a = b, dass bⁿ = a ist. Bei geradem n ist b nie negativ, so wie bei der Quadratwurzel. Die kleine Zahl vor dem Wurzelzeichen heißt Wurzelexponent. Bei der Quadratwurzel lässt man die 2 weg. Wurzeln ziehen wir hier nur aus Zahlen, die nicht negativ sind. Die Gleichung x³ = −8 hat trotzdem eine Lösung: x = −2, denn (−2)³ = −8.
| n | n³ | n | n³ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 216 |
| 2 | 8 | 7 | 343 |
| 3 | 27 | 8 | 512 |
| 4 | 64 | 9 | 729 |
| 5 | 125 | 10 | 1000 |
³√125 bestimmen
- Frage: Welche Zahl dreimal malgenommen ergibt 125?
- 4 · 4 · 4 = 64 ist zu klein.
- 5 · 5 · 5 = 125 passt.
- Also ist ³√125 = 5.
- Probe: 5³ = 125.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Quadratwurzel: zwei gleiche Faktoren.
Kubikwurzel: drei gleiche Faktoren.
³√27 = 3, weil 3 · 3 · 3 = 27.
Ein Beispiel
Ein Würfel aus Holz hat 64 cm³. Wie lang ist die Kante? Du suchst die Zahl, die dreimal malgenommen 64 ergibt. Das ist 4. Die Kante ist 4 cm lang.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen die Kante eines Würfels mit 216 cm³
- Gesucht: die Zahl, die dreimal malgenommen 216 ergibt.
- 5 · 5 · 5 = 125 ist zu klein.
- 6 · 6 · 6 = 216 passt.
- Die Kante ist ³√216 = 6 cm lang.
Mit einem Bild erklärt
| Wurzel | Probe | Ergebnis |
|---|---|---|
| ³√27 | 3 · 3 · 3 = 27 | 3 |
| ⁴√16 | 2 · 2 · 2 · 2 = 16 | 2 |
| ⁵√32 | 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 | 2 |
Zur Grundlage zurück
- Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens – Bei der Kubikwurzel gilt dieselbe Umkehr-Idee wie bei der Quadratwurzel.
- Quadratzahlen und Quadratwurzeln – Du kennst Quadratwurzeln. Hier kommen dritte und weitere Wurzeln dazu.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Wie viel ist ³√27?
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Zahl dreimal malgenommen ergibt 27?
Lösung ansehen
Lösung: 3
3 · 3 · 3 = 27.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Wie viel ist ³√1000?
Zeig mir den ersten Schritt
Denke an 10 · 10 · 10.
Lösung ansehen
Lösung: 10
10³ = 1000.
Tipp: Lerne die ersten Kubikzahlen: 1, 8, 27, 64, 125, 216 und 1000. Dann findest du viele Kubikwurzeln sofort.
Merksatz: ⁿ√a ist die Zahl, die n-mal als Faktor a ergibt. Bei geradem n ist sie nicht negativ. ³√27 = 3, weil 3³ = 27.
Typischer Fehler: Viele verwechseln ³√27 mit 27 : 3 = 9. Die Kubikwurzel fragt: Welche Zahl dreimal malgenommen ergibt 27? Die Antwort ist 3.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Wie viel ist ³√64?
Zeig mir den ersten Schritt
4 · 4 = 16. Dann noch einmal mal 4.
Lösung ansehen
Lösung: 4
4³ = 64.
Frage 2 Ein Würfel hat das Volumen 216 cm³. Wie lang ist eine Kante in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Suche die Zahl, die dreimal malgenommen 216 ergibt.
Lösung ansehen
Lösung: 6
6 · 6 · 6 = 216.
Frage 3 Wie viel ist ⁴√81?
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Zahl viermal malgenommen ergibt 81?
Lösung ansehen
Lösung: 3
3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Lösung ansehen
Lösung: 2
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du bestimmst Kubikwurzeln und andere Wurzeln.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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