Der Logarithmus
Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Er beantwortet die Frage: Welche Zahl muss im Exponenten stehen?
Das lernst du heute
- Ich erkläre, was der Logarithmus ist.
- Ich berechne einfache Logarithmen im Kopf.
- Ich schreibe eine Potenz als Logarithmus.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Exponentialgleichungen durch Probieren lösen, Negative Exponenten als Bruch
Bei 2ˣ = 8 fragst du: Wie viele Zweien muss man miteinander multiplizieren, um 8 zu erhalten? Die Antwort ist 3, denn 2 · 2 · 2 = 8. Dafür gibt es eine eigene Schreibweise: log₂(8) = 3. Man liest: Logarithmus von 8 zur Basis 2.
Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Es gilt: log_b(c) = x bedeutet bˣ = c.
Beispiele: log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. log₁₀(1 000) = 3, weil 10³ = 1 000. log₃(81) = 4, weil 3⁴ = 81.
Besondere Fälle: log₅(1) = 0, weil 5⁰ = 1. Der Logarithmus kann auch negativ sein: log₁₀(0,01) = −2, weil 10⁻² = 0,01. Der Logarithmus einer Zahl, die 0 oder negativ ist, existiert nicht, denn eine positive Basis ergibt in jeder Potenz einen positiven Wert.
| Potenz | Logarithmus |
|---|---|
| 2³ = 8 | log₂(8) = 3 |
| 10³ = 1 000 | log₁₀(1 000) = 3 |
| 3⁴ = 81 | log₃(81) = 4 |
| 5⁰ = 1 | log₅(1) = 0 |
| 10⁻² = 0,01 | log₁₀(0,01) = −2 |
log₃(81) berechnen
- Frage: 3 hoch was ergibt 81?
- 3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81.
- Also ist log₃(81) = 4.
- Probe: 3⁴ = 81.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
log₂(8) fragt: 2 hoch was ergibt 8?
Antwort: 3.
Der Logarithmus ist der Exponent.
Ein Beispiel
Wie viele Verdopplungen führen von 1 zu 64? Die Antwort ist log₂(64) = 6, denn 2⁶ = 64.
Schritt für Schritt
Wir berechnen log₂(ein Achtel)
- Frage: 2 hoch was ergibt ein Achtel?
- 2³ = 8, also ist 2⁻³ = ein Achtel.
- Der Exponent ist −3.
- Also ist log₂(ein Achtel) = −3.
Mit einem Bild erklärt
| Potenz | 2⁻³ | 2⁻² | 2⁻¹ | 2⁰ | 2¹ | 2² | 2³ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | ein Achtel | ein Viertel | ein halb | 1 | 2 | 4 | 8 |
| log₂ | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zur Grundlage zurück
- Exponentialgleichungen durch Probieren lösen – Das Probieren war der erste Schritt zum Logarithmus.
- Negative Exponenten als Bruch – Du brauchst negative Exponenten.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Berechne log₂(16).
Zeig mir den ersten Schritt
2 hoch was ergibt 16?
Lösung ansehen
Lösung: 4
2⁴ = 16, also log₂(16) = 4.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Berechne log₅(125).
Zeig mir den ersten Schritt
5 hoch was ergibt 125?
Lösung ansehen
Lösung: 3
5³ = 125, also log₅(125) = 3.
Tipp: Stelle dir immer die Frage: Basis hoch was ist die Zahl? Die Antwort ist der Logarithmus.
Merksatz: log_b(c) ist der Exponent, mit dem man b potenzieren muss, um c zu erhalten. log_b(c) = x bedeutet bˣ = c.
Typischer Fehler: Viele rechnen log₂(8) als 8 : 2 = 4. Der Logarithmus ist aber der Exponent. Weil 2³ = 8 ist, gilt log₂(8) = 3.
Mini-Quiz
6 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Berechne log₂(64).
Zeig mir den ersten Schritt
2 hoch was ergibt 64?
Lösung ansehen
Lösung: 6
2⁶ = 64.
Frage 2 Berechne log₁₀(100 000).
Zeig mir den ersten Schritt
10 hoch was ergibt 100 000?
Lösung ansehen
Lösung: 5
10⁵ = 100 000.
Lösung ansehen
Lösung: 2
Frage 4 Berechne log₅(1).
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Potenz von 5 ergibt 1?
Lösung ansehen
Lösung: 0
5⁰ = 1.
Frage 5 Berechne log₂(ein Achtel).
Zeig mir den ersten Schritt
2⁻³ ist 1 durch 2³.
Lösung ansehen
Lösung: -3
2⁻³ = ein Achtel, also log₂(ein Achtel) = −3.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Der Logarithmus ist der Exponent, der die Frage beantwortet: Basis hoch was ist die Zahl? Er ist die Umkehrung des Potenzierens.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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