Exponentialgleichungen durch Probieren lösen
Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Zahl im Exponenten. Du löst sie durch Probieren und Einschachteln.
Das lernst du heute
- Ich erkenne eine Exponentialgleichung bˣ = c.
- Ich löse einfache Fälle durch Probieren.
- Ich schachtele eine Lösung zwischen zwei Zahlen ein.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Potenzgesetze bei gleicher Basis, Verdopplungszeit und Halbwertszeit
Eine Kultur startet mit 1 Zelle und verdoppelt sich jede Stunde. Nach wie vielen Stunden sind es 32 Zellen? Du suchst x mit 2ˣ = 32.
Das ist eine Exponentialgleichung: Die gesuchte Zahl x steht im Exponenten. Die allgemeine Form ist bˣ = c.
Probiere: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32. Also ist x = 5.
Oft trifft keine ganze Zahl den Wert genau. Dann schachtelst du die Lösung ein. Für 2ˣ = 100: 2⁶ = 64 ist zu klein, 2⁷ = 128 ist zu groß. Die Lösung liegt zwischen 6 und 7. Mit Kommazahlen kannst du noch genauer eingrenzen.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2ˣ | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 |
3ˣ = 200 durch Einschachteln
- 3⁴ = 81 ist zu klein. 3⁵ = 243 ist zu groß. x liegt zwischen 4 und 5.
- Probiere mit Kommazahlen (Taschenrechner): 3 hoch 4,5 ≈ 140,3. Das ist noch zu klein.
- 3 hoch 4,8 ≈ 195,1 ist etwas zu klein. 3 hoch 4,9 ≈ 217,7 ist zu groß.
- Die Lösung liegt zwischen 4,8 und 4,9. Der Wert 195,1 liegt näher an 200.
- Antwort: x ≈ 4,8.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Wie viele Zweien muss ich miteinander multiplizieren, um 32 zu erhalten?
2, 4, 8, 16, 32.
Fünf Zweien: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Also x = 5.
Ein Beispiel
Eine Kultur verdoppelt sich jede Stunde. Du fragst: Nach wie vielen Stunden sind es mehr als 1 000 Zellen? Du probierst Potenzen von 2 aus.
Schritt für Schritt
Wir lösen 5ˣ = 125
- Probiere 5¹ = 5.
- 5² = 25.
- 5³ = 125. Das passt.
- Also ist x = 3.
Mit einem Bild erklärt
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 5ˣ | 5 | 25 | 125 | 625 |
Zur Grundlage zurück
- Potenzgesetze bei gleicher Basis – Du brauchst Potenzen.
- Verdopplungszeit und Halbwertszeit – Verdopplungen hast du schon gerechnet.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse 2ˣ = 64.
Zeig mir den ersten Schritt
Probiere 2⁴, 2⁵, 2⁶.
Lösung ansehen
Lösung: 6
2⁶ = 64, also x = 6.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse 5ˣ = 625.
Zeig mir den ersten Schritt
5³ = 125. Dann weiter mal 5.
Lösung ansehen
Lösung: 4
5⁴ = 625, also x = 4.
Tipp: Lege dir eine kleine Wertetabelle an. So siehst du, wo der gesuchte Wert liegt.
Merksatz: Eine Exponentialgleichung hat die Form bˣ = c. Du löst sie durch Probieren: Suche das x, bei dem bˣ den Wert c ergibt. Liegt c zwischen zwei Werten, liegt x zwischen zwei Zahlen.
Typischer Fehler: Viele rechnen bei 2ˣ = 32 einfach 32 : 2 = 16 und schreiben x = 16. Das stimmt nicht, denn 2¹⁶ ist viel größer als 32. Die gesuchte Zahl steht im Exponenten. Probiere Potenzen von 2.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Löse 3ˣ = 243.
Zeig mir den ersten Schritt
3 · 3 = 9, 9 · 3 = 27, 27 · 3 = 81, dann weiter.
Lösung ansehen
Lösung: 5
3⁵ = 243, also x = 5.
Frage 2 Löse 10ˣ = 100 000.
Zeig mir den ersten Schritt
10ˣ ist eine 1 mit x Nullen.
Lösung ansehen
Lösung: 5
100 000 hat fünf Nullen, also x = 5.
Lösung ansehen
Lösung: 6 und 7
Frage 4 Löse 4ˣ = 256.
Zeig mir den ersten Schritt
4 · 4 = 16. Dann weiter mal 4.
Lösung ansehen
Lösung: 4
4⁴ = 256, also x = 4.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Bei bˣ = c suchst du den Exponenten x. Du probierst Werte aus und schachtelst die Lösung ein, wenn sie keine ganze Zahl ist.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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