Ein Beweis für den Satz des Pythagoras
Du kannst den Satz mit Flächen beweisen. Dabei berechnest du die Fläche eines großen Quadrats auf zwei Arten.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe die Beweisidee mit dem großen Quadrat.
- Ich rechne den Beweis mit Buchstaben Schritt für Schritt.
- Ich erkläre, warum ein Zahlenbeispiel kein Beweis ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die erste Formel mit Faktoren, Der Satz an Quadraten sehen
Der Satz des Pythagoras lässt sich beweisen. Hier ist ein Beweis mit Flächen. Zeichne ein großes Quadrat mit der Seitenlänge a + b. In die Ecken legst du vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b. In der Mitte bleibt ein Quadrat mit der Seitenlänge c. Seine Ecken sind rechte Winkel, weil die beiden spitzen Winkel jedes Dreiecks zusammen 90° ergeben. Die Fläche des großen Quadrats lässt sich auf zwei Arten berechnen. Erstens: (a + b)² = a² + 2ab + b². Das ist die erste binomische Formel. Zweitens: vier Dreiecke und das Quadrat in der Mitte. Jedes Dreieck hat die Fläche ½ · a · b. Vier Dreiecke haben zusammen 2ab. Dazu kommt c². Beide Flächen sind gleich: a² + 2ab + b² = 2ab + c². Ziehe auf beiden Seiten 2ab ab. Es bleibt a² + b² = c². Das ist der Satz. Zahlenprobe mit a = 3, b = 4 und c = 5: (3 + 4)² = 49 und 4 · 6 + 25 = 49.
Der Beweis in Schritten
- Großes Quadrat mit Seite a + b. Seine Fläche ist (a + b)².
- Erste binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Zerlegung: vier Dreiecke mit je ½ · a · b und ein Quadrat mit c².
- Die Fläche ist 4 · ½ · a · b + c² = 2ab + c².
- Gleichsetzen: a² + 2ab + b² = 2ab + c².
- Minus 2ab auf beiden Seiten: a² + b² = c².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Großes Quadrat: Seite a + b.
Fläche auf zwei Arten: außen und innen.
Beide gleichsetzen.
Ein Beispiel
Du legst vier gleiche Fliesendreiecke in die Ecken eines Quadrats. Die Mitte bleibt frei. Die Fläche der Mitte ist die große Fläche minus vier Dreiecke. Das ist das Quadrat über der Hypotenuse.
Schritt für Schritt
Wir rechnen den Beweis mit a = 3 und b = 4
- Großes Quadrat: (3 + 4)² = 49.
- Ein Dreieck: ½ · 3 · 4 = 6. Vier Dreiecke: 24.
- Mitte: 49 − 24 = 25.
- Das Quadrat in der Mitte hat die Seite 5, denn 5² = 25.
- Es gilt 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Mit einem Bild erklärt
| Teil | Fläche |
|---|---|
| großes Quadrat (3 + 4)² | 49 |
| vier Dreiecke | 24 |
| Quadrat in der Mitte | 25 |
Zur Grundlage zurück
- Die erste Formel mit Faktoren – Die erste binomische Formel brauchst du im Beweis.
- Der Satz an Quadraten sehen – Du kennst den Satz als Aussage über Quadrate.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Im Beweis ist a = 3 und b = 4. Wie groß ist die Fläche des großen Quadrats?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Seite ist a + b = 7.
Lösung ansehen
Lösung: 49
7 · 7 = 49.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die vier Dreiecke haben zusammen 24 cm². Das große Quadrat hat 49 cm². Wie groß ist das Quadrat in der Mitte in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe die Dreiecke vom großen Quadrat ab.
Lösung ansehen
Lösung: 25
49 − 24 = 25.
Tipp: Beweisen heißt: Jeder Schritt folgt aus bekannten Regeln. Prüfe jeden Schritt einzeln und setze zusätzlich Zahlen ein.
Merksatz: Beweisidee: Die Fläche des großen Quadrats auf zwei Arten berechnen und gleichsetzen. (a + b)² = 2ab + c² führt zu a² + b² = c².
Typischer Fehler: Ein Zahlenbeispiel ist noch kein Beweis. Mit 3, 4 und 5 siehst du nur, dass der Satz dort stimmt. Der Beweis mit Buchstaben gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: a + b
Frage 2 Wie groß ist die Fläche eines der vier Dreiecke bei a = 3 und b = 4?
Zeig mir den ersten Schritt
½ · 3 · 4.
Lösung ansehen
Lösung: 6
½ · 12 = 6.
Frage 3 Wie groß ist die Fläche aller vier Dreiecke bei a = 3 und b = 4?
Zeig mir den ersten Schritt
4 · 6.
Lösung ansehen
Lösung: 24
4 · 6 = 24.
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Lösung: die erste binomische Formel
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du verstehst einen Beweis des Satzes des Pythagoras mit Flächen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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