Die erste Formel mit Faktoren
(a + b)² = a² + 2ab + b². Du wendest sie auf Terme mit Faktoren und mit zwei Variablen an.
Das lernst du heute
- Ich wende die erste Formel an, wenn a oder b mehr als ein Buchstabe sind.
- Ich berechne das mittlere Glied 2ab sicher.
- Ich prüfe mein Ergebnis mit einer Zahl.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Summen multiplizieren, Binomische Formeln
Die erste Formel lautet (a + b)² = a² + 2ab + b². Oft steht für a oder b ein ganzer Term. Beispiel (2x + 3)²: Hier ist a = 2x und b = 3. Dann gilt a² = (2x)² = 4x². Das mittlere Glied ist 2 · 2x · 3 = 12x. Und b² = 9. Ergebnis: 4x² + 12x + 9. Achte darauf, dass du a ganz quadrierst: (2x)² = 4x², nicht 2x². Prüfe das Ergebnis mit einer Zahl: Bei x = 1 gilt (2 + 3)² = 25 und 4 + 12 + 9 = 25. Stimmt.
| a | b | a² | 2ab | b² | |
|---|---|---|---|---|---|
| (2x + 3)² | 2x | 3 | 4x² | 12x | 9 |
| (3a + 5)² | 3a | 5 | 9a² | 30a | 25 |
Mit Zahl prüfen
- Aufgabe: (3a + 5)².
- a ist 3a, b ist 5.
- a² = 9a². 2ab = 2 · 3a · 5 = 30a. b² = 25.
- Ergebnis: 9a² + 30a + 25.
- Probe mit a = 1: (3 + 5)² = 64 und 9 + 30 + 25 = 64.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Was ist a, was ist b?
Schreibe a², 2ab und b².
Probe mit einer Zahl.
Ein Beispiel
Ein Quadrat hat die Seitenlänge 2x + 3. Seine Fläche ist (2x + 3)². Bei x = 1 sind das 5 mal 5, also 25.
Schritt für Schritt
Wir rechnen (2x + 3)²
- a = 2x, b = 3.
- a² = (2x)² = 4x².
- 2ab = 2 · 2x · 3 = 12x.
- b² = 9.
- Ergebnis: 4x² + 12x + 9.
Mit einem Bild erklärt
| a² | 2ab | b² |
|---|---|---|
| 4x² | 12x | 9 |
Zur Grundlage zurück
- Summen multiplizieren – Das Ausmultiplizieren zweier Summen hast du gerade geübt.
- Binomische Formeln – Die Formeln kennst du schon. Hier übst du sie vertieft.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: 4x² + 12x + 9
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Lösung ansehen
Lösung: 9x² + 12x + 4
Tipp: Schreibe zuerst auf, was a und was b ist. Dann fehlt dir nichts.
Merksatz: (a + b)² = a² + 2ab + b². Quadrat des ersten, doppeltes Produkt, Quadrat des zweiten.
Typischer Fehler: Viele quadrieren nur den Buchstaben: (2x)² wird zu 2x² statt 4x². Der Faktor 2 muss mit quadriert werden.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: x² + 10x + 25
Lösung ansehen
Lösung: 9a² + 30ab + 25b²
Frage 3 Wie groß ist (3a + 5)² für a = 1?
Zeig mir den ersten Schritt
(3 + 5)².
Lösung ansehen
Lösung: 64
8² = 64. Ebenso 9 + 30 + 25 = 64.
Frage 4 Löse (4x + 1)² auf. Welche Zahl steht vor x?
Zeig mir den ersten Schritt
2ab = 2 · 4x · 1.
Lösung ansehen
Lösung: 8
8x.
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du wendest die erste binomische Formel auf Terme an.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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