Summen multiplizieren
Wenn zwei Klammern mit Summen multipliziert werden, multiplizierst du jeden Summanden mit jedem. Das ist die Grundlage der binomischen Formeln.
Das lernst du heute
- Ich multipliziere zwei Summen Glied für Glied.
- Ich fasse das Ergebnis zusammen.
- Ich erkenne, wann gleiche Klammern entstehen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Ausmultiplizieren und Ausklammern, Klammern auflösen
(x + 3) · (x + 5) bedeutet: Multipliziere jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten. Es sind vier Produkte: x · x = x², x · 5 = 5x, 3 · x = 3x und 3 · 5 = 15. Zusammen: x² + 5x + 3x + 15. Fasse die Glieder mit x zusammen: x² + 8x + 15. Das klappt auch mit Zahlen: 23 · 17 = (20 + 3) · (10 + 7) = 200 + 140 + 30 + 21 = 391. Sind beide Klammern gleich, wie bei (x + 3) · (x + 3), entsteht x² + 6x + 9. Genau das ist (x + 3)². Dort beginnen die binomischen Formeln.
| x | + 5 | |
|---|---|---|
| x | x² | 5x |
| + 3 | 3x | 15 |
Zwei Summen multiplizieren
- Aufgabe: (x + 4) · (x − 2).
- x · x = x². x · (−2) = −2x.
- 4 · x = 4x. 4 · (−2) = −8.
- Zusammen: x² − 2x + 4x − 8.
- Zusammenfassen: x² + 2x − 8.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zeichne ein Schema.
Multipliziere jedes Feld.
Fasse x-Glieder zusammen.
Ein Beispiel
Ein Rechteck hat die Seiten x + 3 und x + 5. Du teilst es in vier Teile: x², 5x, 3x und 15. Zusammen ist das die ganze Fläche.
Schritt für Schritt
Wir rechnen (x + 3) · (x + 5)
- Vier Produkte: x · x, x · 5, 3 · x, 3 · 5.
- x² + 5x + 3x + 15.
- 5x + 3x = 8x.
- Ergebnis: x² + 8x + 15.
Mit einem Bild erklärt
| x | + 5 | |
|---|---|---|
| x | x² | 5x |
| + 3 | 3x | 15 |
Zur Grundlage zurück
- Ausmultiplizieren und Ausklammern – Ausmultiplizieren kennst du schon.
- Klammern auflösen – Klammern auflösen hast du geübt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: x² + 8x + 12
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Lösung ansehen
Lösung: x² + 2x − 15
Tipp: Zeichne ein Kästchenschema. So vergisst du kein Produkt.
Merksatz: Summe mal Summe: jedes Glied mit jedem multiplizieren, dann zusammenfassen. Vier Produkte bei zwei Gliedern je Klammer.
Typischer Fehler: Viele multiplizieren nur die ersten und die letzten Glieder. (x + 3) · (x + 5) ist nicht x² + 15. Es fehlen die gemischten Produkte 5x und 3x.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 2x² + 9x + 4
Frage 2 Rechne 23 · 17 mit (20 + 3) · (10 + 7). Wie viel ist es?
Zeig mir den ersten Schritt
Vier Produkte: 200, 140, 30, 21.
Lösung ansehen
Lösung: 391
200 + 140 + 30 + 21 = 391.
Lösung ansehen
Lösung: x² + 6x + 9
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Löse (x + 3) · (x + 5) auf. Welche Zahl steht vor x?
Zeig mir den ersten Schritt
5x + 3x.
Lösung ansehen
Lösung: 8
5 + 3 = 8.
Geschafft
Du multiplizierst zwei Summen Glied für Glied.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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