Von der Normalform zur Scheitelpunktform
Aus y = x² + 6x + 5 machst du mit der quadratischen Ergänzung eine Form, aus der du den Scheitelpunkt abliest.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, was a und c in der Normalform bedeuten.
- Ich forme die Normalform mit quadratischer Ergänzung um.
- Ich lese danach den Scheitelpunkt ab.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die erste Formel mit Faktoren, Die Scheitelpunktform mit Software erkunden
Die Normalform einer quadratischen Funktion lautet hier y = ax² + bx + c. Manche Bücher nennen sie allgemeine Form, bei Gleichungen heißt x² + px + q = 0 Normalform. In dieser Form siehst du zwei Dinge sofort: a legt die Form fest, und c ist der y-Achsenabschnitt (setze x = 0 ein).
Den Scheitelpunkt siehst du noch nicht. Dafür formst du um. Beispiel: y = x² + 6x + 5.
Halbiere die Zahl vor x: 6 : 2 = 3. Quadriere sie: 3² = 9. Addiere 9 und ziehe 9 gleich wieder ab. Dann bleibt der Wert gleich:
y = (x² + 6x + 9) − 9 + 5
Die Klammer ist eine erste binomische Formel: (x + 3)². Also y = (x + 3)² − 4. Der Scheitelpunkt ist (−3|−4).
| Normalform | Scheitelpunktform | Scheitelpunkt |
|---|---|---|
| x² + 6x + 5 | (x + 3)² − 4 | (−3|−4) |
| x² − 4x + 1 | (x − 2)² − 3 | (2|−3) |
| 2x² + 8x + 3 | 2(x + 2)² − 5 | (−2|−5) |
y = x² + 6x + 5 umformen
- Zahl vor x halbieren: 6 : 2 = 3.
- Quadrieren: 3² = 9.
- Ergänzen: y = (x² + 6x + 9) − 9 + 5.
- Binomische Formel: y = (x + 3)² − 4.
- Scheitelpunkt (−3|−4).
- Probe: (x + 3)² − 4 = x² + 6x + 9 − 4 = x² + 6x + 5. Stimmt.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Halbieren. Quadrieren. Ergänzen. Wieder abziehen.
Dann steht eine Klammer mit Quadrat da.
Ein Beispiel
Stell dir eine Fläche x² + 6x vor: ein Quadrat x mal x und zwei Streifen 3 mal x. In der Ecke fehlt ein Quadrat 3 mal 3. Das legst du dazu. Damit der Wert gleich bleibt, ziehst du 9 wieder ab.
Schritt für Schritt
Wir formen y = x² − 4x + 1 um
- Zahl vor x: −4. Halbiert: −2. Quadriert: 4.
- y = (x² − 4x + 4) − 4 + 1.
- y = (x − 2)² − 3.
- Scheitelpunkt: (2|−3).
- Probe: (x − 2)² − 3 = x² − 4x + 4 − 3 = x² − 4x + 1.
Mit einem Bild erklärt
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² − 4x + 1 | 6 | 1 | −2 | −3 | −2 | 1 | 6 |
| y = (x − 2)² − 3 | 6 | 1 | −2 | −3 | −2 | 1 | 6 |
Zur Grundlage zurück
- Die erste Formel mit Faktoren – Du brauchst die erste binomische Formel rückwärts.
- Die Scheitelpunktform mit Software erkunden – Die Scheitelpunktform kennst du.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: (x − 2)² + 1
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Welche Zahl musst du ergänzen: x² + 10x + ___ = (x + 5)²?
Zeig mir den ersten Schritt
Halbiere 10 und quadriere.
Lösung ansehen
Lösung: 25
5² = 25.
Tipp: Mache immer die Probe: Multipliziere die Scheitelpunktform wieder aus.
Merksatz: x² + bx wird mit (b/2)² ergänzt: x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Den ergänzten Wert ziehst du wieder ab.
Typischer Fehler: Viele vergessen, die ergänzte Zahl wieder abzuziehen. Dann ist die Funktion eine andere. Bei Faktor a vor x² klammerst du a zuerst aus.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: (−3|−4)
Frage 2 Wie groß ist der y-Achsenabschnitt von y = 2x² − 4x + 7?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 0 ein.
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Lösung: 7
Bei x = 0 bleibt nur c = 7.
Frage 3 Welche Zahl ergänzt x² + 8x zu einem vollständigen Quadrat?
Zeig mir den ersten Schritt
Halbiere 8 und quadriere.
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Lösung: 16
4² = 16.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Mit der quadratischen Ergänzung wird aus der Normalform die Scheitelpunktform. Den Scheitelpunkt liest du dann ab.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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