Die Scheitelpunktform mit Software erkunden
Alle drei Veränderungen stecken in einer Funktion. Mit Schiebereglern erkundest du, was jede Zahl bewirkt.
Das lernst du heute
- Ich erkläre die Wirkung von a, d und e.
- Ich lese den Scheitelpunkt aus y = a(x − d)² + e ab.
- Ich erkunde Parameter mit dynamischer Geometriesoftware.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Nach links und rechts verschieben
Streckung, Verschiebung zur Seite und Verschiebung nach oben oder unten lassen sich in einer Funktion verbinden:
y = a · (x − d)² + e
Das ist die Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt ist (d|e).
Du kannst die Wirkung selbst erkunden. Dynamische Geometriesoftware zeichnet den Graphen. Mit Schiebereglern änderst du die Zahlen und siehst sofort, was passiert. Die Tabelle fasst zusammen, was du dabei herausfindest.
| Zahl | Was ändert sich am Graphen? |
|---|---|
| a | Form und Öffnung: großes |a| schmal, kleines |a| breit, a < 0 nach unten |
| d | Verschiebung zur Seite: d > 0 nach rechts, d < 0 nach links |
| e | Verschiebung nach oben (e > 0) oder unten (e < 0) |
Mit Schiebereglern erkunden
- Lege drei Schieberegler an: a, d und e.
- Gib den Funktionsterm a · (x − d)^2 + e ein.
- Stelle a = 1, d = 0 und e = 0 ein. Du siehst die Normalparabel.
- Ändere nur e. Der Graph wandert nach oben und unten.
- Ändere nur d. Der Graph wandert nach links und rechts.
- Ändere nur a. Der Graph wird schmaler, breiter oder kippt nach unten.
- Schreibe zu jedem Regler einen Satz auf.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Drei Zahlen, drei Wirkungen.
a: Form.
d: nach links oder rechts.
e: nach oben oder unten.
Ein Beispiel
Stell dir die Parabel als Schablone vor. Mit a machst du sie steiler oder flacher. Mit d schiebst du sie nach links oder rechts, mit e nach oben oder unten.
Schritt für Schritt
Wir lesen y = 2(x − 1)² + 3 ab
- a = 2: schmaler als die Normalparabel, nach oben geöffnet.
- d = 1: um 1 nach rechts.
- e = 3: um 3 nach oben.
- Scheitelpunkt: (1|3).
- Kontrolle bei x = 2: 2 · 1² + 3 = 5.
Mit einem Bild erklärt
| Funktion | a | Scheitelpunkt |
|---|---|---|
| y = 2(x − 1)² + 3 | 2 | (1|3) |
| y = −(x + 2)² + 4 | −1 | (−2|4) |
| y = 0,5(x − 3)² − 1 | 0,5 | (3|−1) |
Zur Grundlage zurück
- Nach links und rechts verschieben – Das Verschieben nach links und rechts brauchst du hier.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: (1|3)
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Berechne y für y = 2(x − 1)² + 3 bei x = 2.
Zeig mir den ersten Schritt
Klammer zuerst: 2 − 1 = 1.
Lösung ansehen
Lösung: 5
2 · 1² + 3 = 5.
Tipp: Ändere immer nur einen Regler. So erkennst du eindeutig, was er bewirkt.
Merksatz: y = a(x − d)² + e: Scheitelpunkt (d|e). a bestimmt Form und Öffnung, d die Seitenverschiebung, e die Höhe.
Typischer Fehler: Viele lesen d mit dem falschen Vorzeichen. Bei y = 2(x + 1)² − 3 ist d = −1, nicht 1. Der Scheitelpunkt ist (−1|−3).
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: (−2|4)
Frage 2 Berechne y für y = −(x + 2)² + 4 bei x = 0.
Zeig mir den ersten Schritt
(0 + 2)² = 4.
Lösung ansehen
Lösung: 0
−4 + 4 = 0.
Lösung ansehen
Lösung: e
Lösung ansehen
Lösung: y = −(x + 3)² + 1
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
In y = a(x − d)² + e liest du den Scheitelpunkt (d|e) direkt ab. a legt die Form fest.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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