Wurfbahnen und Brückenbögen
Der Weg eines Balls und der Bogen einer Brücke haben die Form einer Parabel. Du beschreibst sie mit einer quadratischen Funktion.
Das lernst du heute
- Ich berechne Höhen mit einer quadratischen Funktion.
- Ich ordne x und y einer Situation zu.
- Ich erkläre, was ein Modell ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Scheitelpunktform mit Software erkunden, Graphen in Sachsituationen deuten
Wirft man einen Ball, fliegt er in einem Bogen. Dieser Bogen hat die Form einer Parabel. Auch viele Brückenbögen sehen so aus.
Ein Beispiel für den Ball: h(x) = −0,25x² + 2x. Dabei ist x die Entfernung vom Abwurf in Metern und h(x) die Höhe in Metern.
Der Ball startet bei h(0) = 0, steigt bis auf 4 m und landet bei x = 8.
Ein Brückenbogen kann so beschrieben werden: y = −0,05x² + 5. In der Mitte (x = 0) ist er 5 m hoch. Bei x = 10 und x = −10 trifft er den Boden.
Solche Funktionen sind Modelle. Ein Modell beschreibt die Wirklichkeit vereinfacht. Im Ballmodell fehlen zum Beispiel Wind und Luftwiderstand.
| Entfernung x in m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Höhe h(x) in m | 0 | 1,75 | 3 | 3,75 | 4 | 3,75 | 3 | 1,75 | 0 |
Höhe berechnen
- Funktion: h(x) = −0,25x² + 2x.
- x = 6 einsetzen: h(6) = −0,25 · 6² + 2 · 6.
- 6² = 36, also −0,25 · 36 = −9.
- h(6) = −9 + 12 = 3.
- Antwort: Nach 6 m Entfernung ist der Ball 3 m hoch.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Ein Ball fliegt hoch und fällt wieder.
Die Bahn hat die Form einer Parabel.
Mit der Funktion berechnest du die Höhe an jeder Stelle.
Ein Beispiel
Ein Wasserstrahl aus einem Gartenschlauch macht einen Bogen. Er ist ebenfalls fast eine Parabel.
Schritt für Schritt
Wir lesen den Ball ab
- Bei x = 0 ist h = 0. Der Ball wird vom Boden aus geworfen.
- Bei x = 4 ist h = −4 + 8 = 4. Das ist die größte Höhe.
- Bei x = 8 ist h = −16 + 16 = 0. Der Ball landet.
- Ablauf: hoch bis 4 m, dann wieder runter.
Mit einem Bild erklärt
Zur Grundlage zurück
- Die Scheitelpunktform mit Software erkunden – Du brauchst die Parabel und ihren Scheitelpunkt.
- Graphen in Sachsituationen deuten – Graphen in Situationen hast du bei Geraden schon gedeutet.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Der Ball fliegt nach h(x) = −0,25x² + 2x. Wie hoch ist er in 2 m Entfernung (x = 2)? Gib die Höhe in Metern an.
Zeig mir den ersten Schritt
−0,25 · 2² + 2 · 2.
Lösung ansehen
Lösung: 3
−1 + 4 = 3 Meter.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Der Ball fliegt nach h(x) = −0,25x² + 2x. Wie hoch ist er in 4 m Entfernung (x = 4)? Gib die Höhe in Metern an.
Zeig mir den ersten Schritt
−0,25 · 16 + 8.
Lösung ansehen
Lösung: 4
−4 + 8 = 4 Meter.
Tipp: Schreibe zu jedem Ergebnis eine Einheit auf. Hier sind es Meter.
Merksatz: Quadratische Funktionen beschreiben Parabeln in der Wirklichkeit. Ein Modell ist eine vereinfachte Beschreibung. Es gilt nur in einem sinnvollen Bereich.
Typischer Fehler: Viele denken: Das Modell ist die Wirklichkeit. Das stimmt nicht. Es beschreibt die Wirklichkeit nur näherungsweise.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Der Brückenbogen y = −0,05x² + 5 gilt für x in Metern. Wie hoch ist er bei x = 10?
Zeig mir den ersten Schritt
−0,05 · 100 + 5.
Lösung ansehen
Lösung: 0
−5 + 5 = 0. Dort trifft der Bogen auf den Boden.
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Lösung: Der Ball landet nach 8 m.
Frage 3 Wie hoch ist der Bogen y = −0,05x² + 5 in der Mitte (x = 0)? Gib die Höhe in Metern an.
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 0 ein.
Lösung ansehen
Lösung: 5
y = 5.
Lösung ansehen
Lösung: nach unten
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Die Flugbahn eines Balls ist eine Parabel. x ist die Entfernung, h(x) die Höhe. Das Modell vereinfacht die Wirklichkeit.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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