Ähnliche Figuren erkennen
Ähnliche Figuren haben dieselbe Form. Alle Winkel sind gleich, und alle Seiten stehen im gleichen Verhältnis.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, wann Figuren ähnlich sind.
- Ich prüfe die Seitenverhältnisse.
- Ich nutze bei Dreiecken die gleichen Winkel.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Figuren maßstabsgetreu vergrößern und verkleinern, Die Winkelsumme im Dreieck
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben. Die eine entsteht aus der anderen durch Vergrößern oder Verkleinern, manchmal zusätzlich mit Verschieben, Drehen oder Spiegeln. Dann gilt: Alle entsprechenden Winkel sind gleich. Alle entsprechenden Seiten stehen im gleichen Verhältnis. Beispiel mit Rechtecken: 4 cm × 2 cm und 6 cm × 3 cm. Es gilt 6 : 4 = 1,5 und 3 : 2 = 1,5. Die Verhältnisse sind gleich, die Rechtecke sind ähnlich. Bei 4 cm × 2 cm und 6 cm × 4 cm gilt 6 : 4 = 1,5, aber 4 : 2 = 2. Die Verhältnisse sind verschieden. Die Rechtecke sind nicht ähnlich. Bei Dreiecken genügt es, wenn zwei Winkel übereinstimmen. Der dritte Winkel ist dann auch gleich, denn die Winkelsumme ist 180°. Das Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 und das Dreieck mit 6, 8, 10 sind ähnlich.
| Paar | Verhältnisse | ähnlich? |
|---|---|---|
| Rechtecke 4 × 2 und 6 × 3 | 6 : 4 = 1,5 und 3 : 2 = 1,5 | ja |
| Rechtecke 4 × 2 und 6 × 4 | 6 : 4 = 1,5 und 4 : 2 = 2 | nein |
| Dreiecke 3, 4, 5 und 6, 8, 10 | 2 und 2 und 2 | ja |
| Dreiecke 3, 4, 5 und 4, 5, 6 | 4 : 3 und 5 : 4 und 6 : 5 (verschieden) | nein |
Sind 6 × 4 und 9 × 6 ähnlich?
- Lange Seiten: 9 : 6 = 1,5.
- Kurze Seiten: 6 : 4 = 1,5.
- Beide Verhältnisse sind gleich.
- Die Rechtecke sind ähnlich. Der Faktor ist 1,5.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Gleiche Form.
Gleiche Winkel.
Alle Verhältnisse gleich.
Ein Beispiel
Ein Foto und sein Abzug in doppelter Größe sind ähnlich. Ein Foto, das nur in die Breite gezogen wurde, ist verzerrt und nicht ähnlich zum Original.
Schritt für Schritt
Wir prüfen zwei Dreiecke mit den Seiten 3, 4, 5 und 6, 8, 10
- Ordne die Seiten zu: 3 zu 6, 4 zu 8, 5 zu 10.
- Verhältnisse: 6 : 3 = 2, 8 : 4 = 2, 10 : 5 = 2.
- Alle Verhältnisse sind gleich.
- Die Dreiecke sind ähnlich mit dem Faktor 2.
Mit einem Bild erklärt
Zur Grundlage zurück
- Figuren maßstabsgetreu vergrößern und verkleinern – Vergrößern und Verkleinern ist die Grundlage der Ähnlichkeit.
- Die Winkelsumme im Dreieck – Die Winkelsumme brauchst du bei Dreiecken.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: Ja, die Verhältnisse sind gleich: 6 : 4 = 3 : 2.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: Stimmt nicht
Tipp: Bilde bei jedem Seitenpaar das Verhältnis immer in derselben Richtung: neue Länge geteilt durch alte Länge.
Merksatz: Ähnlich: gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse. Bei Dreiecken reichen zwei gleiche Winkel.
Typischer Fehler: Viele halten alle Rechtecke für ähnlich, weil alle Winkel 90° sind. Es müssen auch die Seitenverhältnisse gleich sein. Ein langes, schmales Rechteck ist nicht ähnlich zu einem Quadrat.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
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Lösung: 9 cm × 6 cm
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Lösung: Stimmt
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Lösung: Stimmt nicht
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Lösung: Sie sind ähnlich.
Frage 5 Ein Dreieck hat die Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm. Ein ähnliches Dreieck hat als kürzeste Seite 9 cm. Wie lang ist seine längste Seite in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Faktor: 9 : 3.
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Lösung: 15
k = 3 und 5 · 3 = 15.
Geschafft
Du erkennst ähnliche Figuren an Winkeln und Seitenverhältnissen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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