Linear, quadratisch oder exponentiell?
Aus einer Wertetabelle erkennst du, ob Wachstum linear, quadratisch oder exponentiell ist. Du nutzt Differenzen und Quotienten.
Das lernst du heute
- Ich unterscheide die drei Wachstumsarten in Tabellen.
- Ich berechne Differenzen und Quotienten.
- Ich vergleiche das langfristige Wachstum.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Linear oder quadratisch?, Die Funktion y = a · bˣ
Du prüfst eine Tabelle in drei Schritten. Die x-Werte steigen dabei immer um 1.
1. Differenzen: Subtrahiere benachbarte y-Werte. Sind sie alle gleich, ist es linear. Beispiel 3, 7, 11, 15, 19: Differenzen 4, 4, 4, 4.
2. Zweite Differenzen: Sind die ersten Differenzen nicht gleich, bilde Differenzen der Differenzen. Sind diese gleich, ist es quadratisch. Beispiel 1, 4, 9, 16, 25: Differenzen 3, 5, 7, 9, zweite Differenzen 2, 2, 2.
3. Quotienten: Teile benachbarte y-Werte. Sind die Quotienten alle gleich, ist es exponentiell. Beispiel 3, 6, 12, 24, 48: Quotienten 2, 2, 2, 2.
Auf lange Sicht gewinnt das exponentielle Wachstum (mit einem Faktor über 1) immer: Bei x = 10 ist 2ˣ = 1 024, aber x² nur 100 und 2x nur 20.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| linear: 3 + 4x | 3 | 7 | 11 | 15 | 19 |
| quadratisch: (x + 1)² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
| exponentiell: 3 · 2ˣ | 3 | 6 | 12 | 24 | 48 |
Welche Funktion steckt in der Tabelle?
- y-Werte: 2, 6, 18, 54, 162.
- Differenzen: 4, 12, 36, 108. Nicht gleich, also nicht linear.
- Quotienten: 6 : 2 = 3, 18 : 6 = 3, 54 : 18 = 3, 162 : 54 = 3. Alle gleich.
- Also exponentiell mit dem Faktor 3 und dem Startwert 2.
- Funktion: f(x) = 2 · 3ˣ.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Erste Differenzen gleich: linear.
Zweite Differenzen gleich: quadratisch.
Quotienten gleich: exponentiell.
Ein Beispiel
Ein Sparschwein, in das jede Woche 4 € kommen: Der Betrag darin wächst linear. Ein Betrag, der sich jede Woche verdoppelt, wächst exponentiell.
Schritt für Schritt
Wir prüfen 5, 10, 20, 40
- Differenzen: 5, 10, 20. Nicht gleich.
- Quotienten: 10 : 5 = 2, 20 : 10 = 2, 40 : 20 = 2.
- Die Quotienten sind gleich: exponentiell mit Faktor 2.
Mit einem Bild erklärt
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 10 | 20 | 40 |
| Quotient | 2 | 2 | 2 |
Zur Grundlage zurück
- Linear oder quadratisch? – Linear und quadratisch kennst du aus den Parabeln.
- Die Funktion y = a · bˣ – Exponentialfunktionen hast du in den Lektionen davor gesehen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
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Lösung: exponentiell
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: linear
Tipp: Fange mit den Differenzen an. Sind sie gleich, bist du fertig. Sonst prüfe die zweiten Differenzen und die Quotienten.
Merksatz: Gleiche Differenzen: linear. Gleiche zweite Differenzen: quadratisch. Gleiche Quotienten: exponentiell.
Typischer Fehler: Viele halten schnelles Wachstum für quadratisch. Wächst der Wert aber bei jedem Schritt mit demselben Faktor, ist es exponentiell. Prüfe dafür die Quotienten.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
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Lösung: quadratisch
Frage 2 Die y-Werte sind 4, 20, 100, 500. Welcher Faktor steckt dahinter?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile 20 durch 4.
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Lösung: 5
20 : 4 = 5, 100 : 20 = 5, 500 : 100 = 5.
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Lösung: Stimmt nicht
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Lösung: 2ˣ = 1 024
Geschafft
Mit Differenzen, zweiten Differenzen und Quotienten unterscheidest du die drei Wachstumsarten. Exponentielles Wachstum überholt auf lange Sicht die anderen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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