Linear oder quadratisch?
Aus einer Wertetabelle erkennst du, welche Art von Funktion dahintersteckt. Du nutzt die Unterschiede der y-Werte.
Das lernst du heute
- Ich berechne die Unterschiede in einer Wertetabelle.
- Ich unterscheide lineare und quadratische Funktionen.
- Ich erkenne Situationen, die quadratisch sind.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Lineare Funktionen: y = m · x + b, Die Normalparabel y = x²
Bei einer Wertetabelle schaust du auf die Unterschiede benachbarter y-Werte. Die x-Werte steigen dabei um 1.
Bei einer linearen Funktion sind diese Unterschiede immer gleich. Beispiel y = 2x + 1: Die y-Werte sind 1, 3, 5, 7, 9. Die Unterschiede sind 2, 2, 2, 2.
Bei einer quadratischen Funktion wachsen die Unterschiede selbst. Beispiel y = x² + 1: Die y-Werte sind 1, 2, 5, 10, 17. Die Unterschiede sind 1, 3, 5, 7. Die Unterschiede der Unterschiede sind immer 2.
Sind weder die ersten noch die zweiten Unterschiede gleich, ist es eine andere Funktion. Bei 1, 2, 4, 8, 16 verdoppeln sich die Werte. Das ist weder linear noch quadratisch.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| Unterschiede | 2 | 2 | 2 | 2 | |
| y = x² + 1 | 1 | 2 | 5 | 10 | 17 |
| Unterschiede | 1 | 3 | 5 | 7 | |
| Unterschiede der Unterschiede | 2 | 2 | 2 |
Welche Funktion steckt in der Tabelle?
- y-Werte: 0, 3, 12, 27, 48.
- Erste Unterschiede: 3, 9, 15, 21. Sie sind nicht gleich: nicht linear.
- Zweite Unterschiede: 6, 6, 6. Sie sind gleich: quadratisch.
- Es passt y = 3x². Probe: 3 · 4² = 48.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Rechne den Unterschied von Wert zu Wert.
Gleich? Dann ist es linear.
Wachsen die Unterschiede immer um dieselbe Zahl? Dann ist es quadratisch.
Ein Beispiel
Beim Bremsen im Straßenverkehr gilt als grobe Faustformel für den Bremsweg bei normalem Bremsen: (Geschwindigkeit in km/h : 10)² in Metern. Bei 30 km/h sind es 9 m, bei 60 km/h schon 36 m. Doppeltes Tempo, vierfacher Weg.
Schritt für Schritt
Wir prüfen die Tabelle 2, 5, 8, 11, 14
- Erste Unterschiede: 3, 3, 3, 3.
- Alle gleich: linear.
- Funktion: y = 3x + 2.
- Probe bei x = 4: 3 · 4 + 2 = 14.
Mit einem Bild erklärt
| Geschwindigkeit | 30 km/h | 60 km/h | 90 km/h |
|---|---|---|---|
| Bremsweg in m | 9 | 36 | 81 |
Zur Grundlage zurück
- Lineare Funktionen: y = m · x + b – Bei linearen Funktionen ist das Wachstum gleichmäßig.
- Die Normalparabel y = x² – Die Normalparabel kennst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
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Lösung: linear
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Berechne den Bremsweg in Metern bei 60 km/h mit der Faustformel (v : 10)².
Zeig mir den ersten Schritt
60 : 10 = 6.
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Lösung: 36
6² = 36 m.
Tipp: Rechne die Unterschiede immer von links nach rechts: rechter Wert minus linker Wert.
Merksatz: Gleiche erste Unterschiede: linear. Gleiche zweite Unterschiede (nicht 0): quadratisch. Sonst: eine andere Funktion.
Typischer Fehler: Viele halten jedes Wachstum für linear. Wächst y immer schneller, ist es nicht linear. Bei y = x² wächst der Unterschied von Stufe zu Stufe um 2.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
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Lösung: quadratisch
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Lösung: weder linear noch quadratisch
Frage 3 Berechne den Bremsweg in Metern bei 90 km/h mit der Faustformel (v : 10)².
Zeig mir den ersten Schritt
90 : 10 = 9.
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Lösung: 81
9² = 81 m.
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Mit ersten und zweiten Unterschieden erkennst du lineare und quadratische Funktionen in Tabellen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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