Die Funktion y = a · bˣ
Wachstum mit festem Faktor lässt sich als Funktion schreiben: f(x) = a · bˣ. Du liest Startwert und Faktor ab.
Das lernst du heute
- Ich schreibe Wachstum als Funktion f(x) = a · bˣ.
- Ich lese a und b ab.
- Ich berechne Funktionswerte.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Wachsen mit festem Faktor, Lineare Funktionen: y = m · x + b
Eine Exponentialfunktion hat den Term f(x) = a · bˣ. Dabei ist x der Exponent. Das unterscheidet sie von der quadratischen Funktion, bei der x die Basis ist.
a ist der Startwert. Für x = 0 gilt b⁰ = 1, also f(0) = a. Der Graph schneidet die y-Achse bei a.
b ist der Wachstumsfaktor. Wenn x um 1 größer wird, wird der Funktionswert mit b multipliziert. Für b muss gelten: b > 0 und b ≠ 1.
Beispiel f(x) = 3 · 2ˣ: Die Werte sind 3, 6, 12, 24, 48. Der Graph steigt immer steiler und bleibt über der x-Achse (für a > 0). Er erreicht die x-Achse nie.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 3 · 2ˣ | 3 | 6 | 12 | 24 | 48 |
| Faktor von Wert zu Wert | 2 | 2 | 2 | 2 |
Funktion zu einer Tabelle finden
- Die Tabelle: f(0) = 4, f(1) = 12, f(2) = 36.
- Startwert: a = f(0) = 4.
- Faktor: 12 : 4 = 3. Kontrolle: 36 : 12 = 3.
- Funktion: f(x) = 4 · 3ˣ.
- Probe: f(2) = 4 · 3² = 4 · 9 = 36.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Der Term hat zwei Zahlen.
a steht vorn: Das ist der Startwert.
b ist die Zahl, über der das x steht: Das ist der Faktor.
Ein Beispiel
In einem Spiel startest du mit 4 Punkten. Jede Runde verdreifacht deinen Punktestand (ausgedacht). Nach x Runden hast du f(x) = 4 · 3ˣ Punkte.
Schritt für Schritt
Wir lesen f(x) = 5 · 2ˣ ab
- a = 5: Startwert.
- b = 2: Der Wert verdoppelt sich bei jedem Schritt.
- f(0) = 5, f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 40.
Mit einem Bild erklärt
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = 5 · 2ˣ | 5 | 10 | 20 | 40 |
Zur Grundlage zurück
- Wachsen mit festem Faktor – Hier hast du das Wachstum mit festem Faktor kennengelernt.
- Lineare Funktionen: y = m · x + b – Du kennst Funktionsterme von linearen Funktionen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Gegeben ist f(x) = 3 · 2ˣ. Berechne f(4).
Zeig mir den ersten Schritt
2⁴ = 16. Dann mal 3.
Lösung ansehen
Lösung: 48
3 · 16 = 48.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Gegeben ist f(x) = 4 · 3ˣ. Berechne f(2).
Zeig mir den ersten Schritt
3² = 9. Dann mal 4.
Lösung ansehen
Lösung: 36
4 · 9 = 36.
Tipp: Ermittle immer zuerst a bei x = 0. Teile dann einen Wert durch den vorherigen, das ist b.
Merksatz: f(x) = a · bˣ: a ist der Startwert bei x = 0, b ist der Faktor pro Schritt. Der Graph schneidet die y-Achse bei a.
Typischer Fehler: Viele verwechseln 2ˣ mit 2x. Bei x = 3 ist 2ˣ = 8, aber 2x = 6. Auch 2 · 3² ist 18, nicht (2 · 3)² = 36.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: der Wert bei x = 0
Frage 2 Gegeben ist f(x) = 2 · 5ˣ. Berechne f(2).
Zeig mir den ersten Schritt
5² = 25. Dann mal 2.
Lösung ansehen
Lösung: 50
2 · 25 = 50.
Lösung ansehen
Lösung: f(x) = 4 · 3ˣ
Frage 4 Bei welchem y-Wert schneidet der Graph von f(x) = 7 · 3ˣ die y-Achse?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 0 ein.
Lösung ansehen
Lösung: 7
3⁰ = 1, also f(0) = 7.
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Eine Exponentialfunktion f(x) = a · bˣ beschreibt Wachstum mit festem Faktor. a ist der Startwert, b der Faktor.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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