Die quadratische Ergänzung
Mit der quadratischen Ergänzung machst du aus einer Gleichung mit x² und x ein vollständiges Quadrat. Dann ziehst du die Wurzel.
Das lernst du heute
- Ich ergänze x² + bx zu einem vollständigen Quadrat.
- Ich löse die Gleichung durch Wurzelziehen.
- Ich prüfe meine Lösungen mit der Probe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die erste Formel mit Faktoren, Rückwärts: Faktorisieren
Die Gleichung x² + 6x + 5 = 0 hat ein x² und ein x. Mit Wurzelziehen allein geht es nicht. Du machst daraus ein vollständiges Quadrat, mit der ersten binomischen Formel.
Schritt 1: Bringe die Zahl auf die rechte Seite. x² + 6x = −5.
Schritt 2: Halbiere die Zahl vor x und quadriere: (6 : 2)² = 9. Addiere 9 auf beiden Seiten. x² + 6x + 9 = 4.
Schritt 3: Links steht jetzt (x + 3)². Also (x + 3)² = 4.
Schritt 4: Ziehe die Wurzel. x + 3 = 2 oder x + 3 = −2. Daraus folgt x = −1 oder x = −5.
| Gleichung | Mit Ergänzung | Lösungen |
|---|---|---|
| x² + 6x + 5 = 0 | (x + 3)² = 4 | −1 und −5 |
| x² − 4x − 5 = 0 | (x − 2)² = 9 | 5 und −1 |
| x² + 8x + 7 = 0 | (x + 4)² = 9 | −1 und −7 |
| x² − 2x − 3 = 0 | (x − 1)² = 4 | 3 und −1 |
x² − 4x − 5 = 0 lösen
- x² − 4x − 5 = 0 | + 5, also x² − 4x = 5
- Halbe Zahl: −4 : 2 = −2. Quadrat: 4.
- Auf beiden Seiten + 4: x² − 4x + 4 = 5 + 4
- (x − 2)² = 9
- x − 2 = 3 oder x − 2 = −3
- x = 5 oder x = −1
- Probe x = 5: 25 − 20 − 5 = 0. Probe x = −1: 1 + 4 − 5 = 0.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Halbieren.
Quadrieren.
Auf beiden Seiten addieren.
Klammer-Quadrat schreiben.
Wurzel ziehen.
Ein Beispiel
Eine Fläche x² + 6x wird zu einem Quadrat, wenn du ein kleines Quadrat mit 3 · 3 = 9 dazulegst. Dann entsteht ein großes Quadrat mit der Seite x + 3.
Schritt für Schritt
Wir lösen x² + 8x + 7 = 0
- x² + 8x = −7
- Halbe Zahl: 4. Quadrat: 16.
- x² + 8x + 16 = −7 + 16
- (x + 4)² = 9
- x + 4 = 3 oder x + 4 = −3
- x = −1 oder x = −7
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Gleichung |
|---|---|
| Start | x² + 8x + 7 = 0 |
| − 7 | x² + 8x = −7 |
| + 16 | x² + 8x + 16 = 9 |
| Quadrat | (x + 4)² = 9 |
| Wurzel | x = −1 oder x = −7 |
Zur Grundlage zurück
- Die erste Formel mit Faktoren – Die erste binomische Formel gibt dir das Quadrat.
- Rückwärts: Faktorisieren – Rückwärts faktorisieren hilft beim Erkennen des Quadrats.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Welche Zahl ergänzt x² + 10x zu einem vollständigen Quadrat?
Zeig mir den ersten Schritt
Halbiere 10 und quadriere.
Lösung ansehen
Lösung: 25
5² = 25.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse x² − 4x − 5 = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
(x − 2)² = 9.
Lösung ansehen
Lösung: 5
x − 2 = 3 gibt x = 5.
Tipp: Addiere die ergänzte Zahl auf beiden Seiten. Sonst ändert sich die Gleichung.
Merksatz: x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Ergänze (b/2)² auf beiden Seiten, ziehe dann die Wurzel.
Typischer Fehler: Viele ergänzen nur auf der linken Seite. Dann stimmt die Gleichung nicht mehr. Rechne auf beiden Seiten dieselbe Zahl dazu, zum Beispiel + 9.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: (x − 2)² = 9
Frage 2 Löse x² + 2x − 8 = 0. Wie lautet die kleinere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
x² + 2x + 1 = 9.
Lösung ansehen
Lösung: -4
(x + 1)² = 9, also x = 2 oder x = −4.
Frage 3 Löse x² − 2x − 3 = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
(x − 1)² = 4.
Lösung ansehen
Lösung: 3
x − 1 = 2 gibt x = 3.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Die quadratische Ergänzung macht aus x² + bx + c = 0 eine Gleichung mit einem Quadrat in der Klammer, zum Beispiel (x + 3)² = 4. Diese löst du mit der Wurzel.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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