Die p-q-Formel
Die p-q-Formel liefert die Lösungen einer quadratischen Gleichung in einem Zug. Sie entsteht aus der quadratischen Ergänzung.
Das lernst du heute
- Ich bringe eine Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0.
- Ich löse sie mit der p-q-Formel.
- Ich achte auf die Vorzeichen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die quadratische Ergänzung
Rechnest du die quadratische Ergänzung einmal mit Buchstaben, erhältst du die p-q-Formel. Sie gilt für die Normalform:
x² + p · x + q = 0
Vor x² steht keine andere Zahl als 1. Die Formel lautet:
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Das Zeichen ± steht für zwei Rechnungen: einmal plus, einmal minus.
Beispiel: x² − 4x − 12 = 0. Hier ist p = −4 und q = −12. Zuerst −p/2 = 2. Unter der Wurzel steht (−2)² − (−12) = 4 + 12 = 16. Die Wurzel ist 4. Also x = 2 ± 4, das heißt x = 6 oder x = −2.
| Gleichung | p | q | Lösungen |
|---|---|---|---|
| x² + 6x + 5 = 0 | 6 | 5 | −1 und −5 |
| x² − 5x + 6 = 0 | −5 | 6 | 3 und 2 |
| x² + 2x − 15 = 0 | 2 | −15 | 3 und −5 |
x² − 4x − 12 = 0 lösen
- Normalform: p = −4, q = −12.
- −p/2 = 2.
- (p/2)² = (−2)² = 4.
- Unter der Wurzel: 4 − (−12) = 16. Wurzel: 4.
- x = 2 + 4 = 6 oder x = 2 − 4 = −2.
- Probe x = 6: 36 − 24 − 12 = 0. Probe x = −2: 4 + 8 − 12 = 0.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Normalform herstellen.
p und q mit Vorzeichen ablesen.
In die Formel einsetzen.
Plus und Minus rechnen.
Ein Beispiel
Wie ein Rezept: Du hast zwei Zutaten, p und q. Die Formel sagt dir die Reihenfolge der Schritte.
Schritt für Schritt
Wir lösen 2x² − 8x − 10 = 0
- Die Zahl vor x² ist 2. Teile die ganze Gleichung durch 2.
- x² − 4x − 5 = 0. Jetzt p = −4 und q = −5.
- −p/2 = 2. (p/2)² − q = 4 + 5 = 9. Wurzel: 3.
- x = 2 + 3 = 5 oder x = 2 − 3 = −1.
- L = {−1; 5}
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Normalform | x² − 4x − 5 = 0 |
| p, q | p = −4, q = −5 |
| Wurzelteil | 4 + 5 = 9, Wurzel 3 |
| Lösungen | 2 + 3 = 5 und 2 − 3 = −1 |
Zur Grundlage zurück
- Die quadratische Ergänzung – Die quadratische Ergänzung ist die Grundlage der Formel.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse x² − 4x − 12 = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
p = −4, q = −12.
Lösung ansehen
Lösung: 6
x = 2 ± 4, die größere ist 6.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse x² + 2x − 15 = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
p = 2, q = −15.
Lösung ansehen
Lösung: 3
x = −1 ± 4, die größere ist 3.
Tipp: Schreibe p und q mit Vorzeichen auf, bevor du einsetzt. Rechne dann Schritt für Schritt.
Merksatz: x² + px + q = 0 hat die Lösungen x = −p/2 ± √((p/2)² − q).
Typischer Fehler: Viele vertauschen das Vorzeichen von p: Bei p = −4 ist −p/2 gleich +2. Achte auch auf q: Bei (p/2)² − q und q = −12 rechnest du + 12.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: −3
Frage 2 Löse x² − 5x + 6 = 0. Wie lautet die kleinere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
p = −5, q = 6. Es kommen Brüche vor: fünf Halbe.
Lösung ansehen
Lösung: 2
x = fünf Halbe ± ein halb, also 3 oder 2.
Lösung ansehen
Lösung: Durch 2 teilen
Frage 4 Löse x² + x − 12 = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
p = 1, q = −12.
Lösung ansehen
Lösung: 3
x = −ein halb ± sieben Halbe, also 3 oder −4.
Geschafft
Mit der p-q-Formel löst du x² + px + q = 0. Achte auf die Normalform und auf die Vorzeichen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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