Rückwärts: Faktorisieren
Du erkennst eine Summe als Quadrat oder als Differenz von Quadraten und schreibst sie als Produkt.
Das lernst du heute
- Ich erkenne, ob ein Term ein Binom im Quadrat ist.
- Ich schreibe Terme als Produkt (faktorisieren).
- Ich prüfe, ob das mittlere Glied zur Formel passt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Ausklammern, Die dritte Formel: Summe mal Differenz
Die Formeln gelten auch rückwärts. x² + 10x + 25 ist (x + 5)². Prüfe in drei Schritten. Erstens: Sind das erste und das letzte Glied Quadrate? x² = x · x und 25 = 5 · 5. Zweitens: Ist das mittlere Glied das Doppelte des Produkts? 2 · x · 5 = 10x. Ja. Dann gilt x² + 10x + 25 = (x + 5)². Eine Differenz von Quadraten wie 16x² − 25 schreibst du als (4x − 5) · (4x + 5). Passt das mittlere Glied nicht, ist der Term kein Binom im Quadrat. Bei x² + 6x + 10 ist 10 kein Quadrat. Oft hilft zuerst Ausklammern: 2x² + 12x + 18 = 2 · (x² + 6x + 9) = 2 · (x + 3)².
| Term | Passt zu | Faktorisiert |
|---|---|---|
| x² + 10x + 25 | erste Formel | (x + 5)² |
| 9x² − 12x + 4 | zweite Formel | (3x − 2)² |
| 16x² − 25 | dritte Formel | (4x − 5) · (4x + 5) |
Prüfen und faktorisieren
- Term: 9x² − 12x + 4.
- 9x² = (3x)². 4 = 2². Beide positiv.
- Mitte: 2 · 3x · 2 = 12x. Vorzeichen minus.
- Also zweite Formel: (3x − 2)².
- Probe bei x = 1: 9 − 12 + 4 = 1 und (3 − 2)² = 1.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Quadrate vorn und hinten?
Mitte doppeltes Produkt?
Dann in Klammer mit Quadrat.
Ein Beispiel
Du hast ein quadratisches Beet mit der Fläche x² + 10x + 25. Es ist ein Quadrat mit der Seite x + 5.
Schritt für Schritt
Wir faktorisieren 9x² − 12x + 4
- Quadrate: 9x² = (3x)² und 4 = 2².
- Mitte: 2 · 3x · 2 = 12x. Minus.
- Zweite Formel: (3x − 2)².
- Probe: (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4.
Mit einem Bild erklärt
| a | b | 2ab | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| 3x | 2 | 12x | (3x − 2)² |
Zur Grundlage zurück
- Ausklammern – Ausklammern hilft zusätzlich.
- Die dritte Formel: Summe mal Differenz – Du kennst alle drei Formeln.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: (x + 5)²
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Lösung ansehen
Lösung: (4x − 5) · (4x + 5)
Tipp: Mache am Ende die Probe: Löse deine Klammer wieder auf. Du musst den Ausgangsterm erhalten.
Merksatz: Rückwärts: erstes und letztes Glied Quadrate? Mitte = ± 2ab? Dann (a ± b)². Differenz von Quadraten: (a − b)(a + b).
Typischer Fehler: Viele faktorisieren auch x² + 6x + 10 zu (x + 3)². Das stimmt nicht, denn (x + 3)² = x² + 6x + 9. Die Zahl 10 ist kein Quadrat.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: x² + 12x + 36
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Lösung: (3x − 2)²
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Lösung: 2 · (x + 3)²
Frage 4 x² + 14x + 49 = (x + b)². Wie groß ist b?
Zeig mir den ersten Schritt
b² = 49.
Lösung ansehen
Lösung: 7
b = 7, und 2 · 7 = 14.
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du faktorisierst mit den binomischen Formeln und erkennst, wann es nicht geht.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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