Geschickt rechnen
Mit den Formeln kannst du Quadrate und Produkte im Kopf ausrechnen.
Das lernst du heute
- Ich zerlege eine Zahl so, dass eine Formel passt.
- Ich rechne Quadrate im Kopf aus.
- Ich rechne Produkte wie 47 · 53 im Kopf aus.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die dritte Formel: Summe mal Differenz
98² im Kopf: 98 = 100 − 2. Dann gilt (100 − 2)² = 10 000 − 400 + 4 = 9 604. Für 103² nutzt du 103 = 100 + 3: 10 000 + 600 + 9 = 10 609. Für ein Produkt wie 47 · 53 suchst du die Mitte: 47 = 50 − 3 und 53 = 50 + 3. Dritte Formel: 50² − 3² = 2 500 − 9 = 2 491. Das geht auch mit Dezimalzahlen: 2,1² = (2 + 0,1)² = 4 + 0,4 + 0,01 = 4,41. Zerlege die Zahl so, dass eine Hälfte leicht zu rechnen ist.
| Aufgabe | Zerlegung | Ergebnis |
|---|---|---|
| 98² | (100 − 2)² | 9 604 |
| 103² | (100 + 3)² | 10 609 |
| 47 · 53 | (50 − 3)(50 + 3) | 2 491 |
| 2,1² | (2 + 0,1)² | 4,41 |
Im Kopf rechnen
- Aufgabe: 47 · 53.
- Die Mitte ist 50: 47 = 50 − 3, 53 = 50 + 3.
- Dritte Formel: 50² − 3².
- 2 500 − 9 = 2 491.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Finde eine runde Zahl in der Nähe.
Schreibe die Zahl als Summe oder Differenz.
Wende die Formel an.
Ein Beispiel
99 · 101 rechnest du ohne Taschenrechner: 99 = 100 − 1 und 101 = 100 + 1. Also 100² − 1² = 10 000 − 1 = 9 999.
Schritt für Schritt
Wir rechnen 98²
- 98 = 100 − 2.
- (100 − 2)² = 100² − 2 · 100 · 2 + 2².
- 10 000 − 400 + 4.
- 9 604.
Mit einem Bild erklärt
| Rechnung | Wert |
|---|---|
| 100² | 10 000 |
| −2 · 100 · 2 | −400 |
| 2² | 4 |
| Summe | 9 604 |
Zur Grundlage zurück
- Die dritte Formel: Summe mal Differenz – Die Formeln brauchst du hier im Kopf.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Rechne 98² mit (100 − 2)². Wie viel ist es?
Zeig mir den ersten Schritt
10 000 − 400 + 4.
Lösung ansehen
Lösung: 9604
9 604.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Rechne 103² mit (100 + 3)². Wie viel ist es?
Zeig mir den ersten Schritt
10 000 + 600 + 9.
Lösung ansehen
Lösung: 10609
10 609.
Tipp: Suche zuerst eine runde Zahl in der Nähe. Dann siehst du die Formel.
Merksatz: Quadrat nahe an 100: (100 ± d)². Produkt um eine Mitte: (m − d) · (m + d) = m² − d².
Typischer Fehler: Viele vergessen beim Zerlegen das mittlere Glied: (100 − 2)² ist nicht 10 000 − 4. Richtig ist 10 000 − 400 + 4 = 9 604.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Rechne 47 · 53 mit (50 − 3) · (50 + 3). Wie viel ist es?
Zeig mir den ersten Schritt
50² − 3².
Lösung ansehen
Lösung: 2491
2 500 − 9 = 2 491.
Frage 2 Rechne 99 · 101. Wie viel ist es?
Zeig mir den ersten Schritt
(100 − 1) · (100 + 1).
Lösung ansehen
Lösung: 9999
10 000 − 1 = 9 999.
Frage 3 Rechne 2,1². Schreibe als Dezimalzahl.
Zeig mir den ersten Schritt
(2 + 0,1)² = 4 + 0,4 + 0,01.
Lösung ansehen
Lösung: 4,41
4,41.
Lösung ansehen
Lösung: (50 + 2)²
Frage 5 51² − 49² = (51 − 49) · (51 + 49). Wie viel ist es?
Zeig mir den ersten Schritt
2 · 100.
Lösung ansehen
Lösung: 200
2 · 100 = 200. Probe: 2 601 − 2 401 = 200.
Geschafft
Du rechnest Quadrate und Produkte geschickt im Kopf.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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