Das Volumen der Pyramide
Eine Pyramide fasst genau ein Drittel eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Das lernst du heute
- Ich kenne die Formel V = 1/3 · G · h.
- Ich berechne das Volumen von Pyramiden.
- Ich erkläre, warum ein Drittel herauskommt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Pyramide: Netz und Oberfläche, Das Volumen eines Prismas
Das Volumen sagt, wie viel in einen Körper passt. Bei einem Prisma gilt V = G · h. Eine Pyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe fasst nur ein Drittel davon. Also gilt V = ein Drittel · G · h. Bei der quadratischen Pyramide ist G = a · a. Warum ein Drittel? Teile einen Würfel mit der Kante 6 cm in sechs gleiche Pyramiden. Alle Spitzen liegen in der Mitte des Würfels. Jede Pyramide hat eine Würfelfläche als Grundfläche, also 36 cm². Ihre Höhe ist 3 cm. Der Würfel hat 216 cm³. Eine Pyramide hat also 216 : 6 = 36 cm³. Die Formel gibt dasselbe: ein Drittel · 36 · 3 = 36 cm³.
Volumen berechnen
- Gegeben: a = 10 cm und h = 12 cm.
- Grundfläche: G = 10 · 10 = 100 cm².
- Erst G · h: 100 · 12 = 1200.
- Dann durch 3 teilen: 1200 : 3 = 400.
- V = 400 cm³.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Ein Prisma hat G · h.
Eine Pyramide mit gleichem G und h hat davon ein Drittel.
Also G · h und dann : 3.
Ein Beispiel
Ein Prisma aus Knete hat die Grundfläche 36 cm² und die Höhe 4 cm. Es hat 144 cm³. Eine Pyramide mit denselben Maßen hat nur ein Drittel davon: 48 cm³.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Schreibe G und h auf.
- Berechne G · h.
- Teile das Ergebnis durch 3.
Mit einem Bild erklärt
| Körper | Grundfläche G | Höhe h | Volumen V |
|---|---|---|---|
| Prisma | 36 cm² | 4 cm | 144 cm³ |
| Pyramide | 36 cm² | 4 cm | 48 cm³ |
Zur Grundlage zurück
- Pyramide: Netz und Oberfläche – Du kennst Grundfläche und Höhe der Pyramide.
- Das Volumen eines Prismas – Das Prisma ist der Vergleichskörper.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Eine quadratische Pyramide hat a = 9 cm und h = 10 cm. Wie groß ist das Volumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
G = 9 · 9 = 81. Dann 81 · 10 = 810.
Lösung ansehen
Lösung: 270
810 : 3 = 270 cm³.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Eine quadratische Pyramide hat a = 5 cm und h = 9 cm. Wie groß ist das Volumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
G = 5 · 5 = 25. Dann 25 · 9 = 225.
Lösung ansehen
Lösung: 75
225 : 3 = 75 cm³.
Tipp: Rechne zuerst G · h. Teile dann durch 3.
Merksatz: Pyramide: V = ein Drittel · G · h. Dabei ist h die Höhe der Pyramide, nicht die Seitenhöhe.
Typischer Fehler: Viele vergessen den Faktor ein Drittel. Dann kommt das Volumen eines Prismas heraus. Andere nehmen die Seitenhöhe hs statt der Höhe h. Für das Volumen brauchst du die senkrechte Höhe h.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Die Grundfläche einer Pyramide ist 48 cm². Die Höhe ist 5 cm. Wie groß ist das Volumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
48 · 5 = 240.
Lösung ansehen
Lösung: 80
240 : 3 = 80 cm³.
Frage 2 Eine Pyramide hat das Volumen 100 cm³ und die Grundfläche 25 cm². Wie hoch ist sie in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Aus V = ein Drittel · G · h folgt h = 3 · V : G.
Lösung ansehen
Lösung: 12
3 · 100 = 300 und 300 : 25 = 12 cm.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Frage 4 Eine Pyramide hat als Grundfläche ein Dreieck mit der Grundseite 6 cm und der Höhe 4 cm. Die Pyramide ist 9 cm hoch. Wie groß ist ihr Volumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Zuerst das Dreieck: G = ½ · 6 · 4 = 12 cm².
Lösung ansehen
Lösung: 36
12 · 9 = 108 und 108 : 3 = 36 cm³.
Lösung ansehen
Lösung: die Höhe h
Geschafft
Das Volumen einer Pyramide ist ein Drittel von G · h. Das gilt für jede Grundfläche, nicht nur für Quadrate.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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