Pyramide: Netz und Oberfläche
Eine Pyramide besteht aus einer Grundfläche und Dreiecken. Wenn du alle Flächen addierst, hast du die Oberfläche.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe das Netz einer quadratischen Pyramide.
- Ich unterscheide die Höhe h und die Seitenhöhe hs.
- Ich berechne den Mantel und die Oberfläche.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die Oberfläche eines Prismas
Eine Pyramide hat eine Grundfläche und eine Spitze. Die Seitenflächen sind Dreiecke. Wir betrachten die quadratische Pyramide. Ihre Grundfläche ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a. Die vier Seitenflächen sind gleich große Dreiecke. Die Höhe eines solchen Dreiecks heißt Seitenhöhe hs. Sie reicht von der Spitze zur Mitte einer Grundkante. Davon unterscheidet sich die Höhe h der Pyramide. Sie führt von der Spitze senkrecht nach unten zur Mitte der Grundfläche. Das Netz zeigt alle Flächen flach nebeneinander: ein Quadrat und vier Dreiecke. Die vier Dreiecke zusammen heißen Mantel M. Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen. Es gilt O = G + M.
Oberfläche berechnen
- Gegeben: a = 6 cm und hs = 5 cm.
- Grundfläche: G = 6 · 6 = 36 cm².
- Ein Dreieck: ½ · 6 · 5 = 15 cm².
- Mantel: M = 4 · 15 = 60 cm².
- Oberfläche: O = 36 + 60 = 96 cm².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Unten liegt ein Quadrat.
Außen sind vier Dreiecke.
Alle fünf Flächen zusammen sind die Oberfläche.
Ein Beispiel
Du willst eine Pyramide aus Pappe bekleben. Das Papier muss alle fünf Flächen bedecken. Du brauchst also die Oberfläche.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Schreibe a und hs auf.
- Berechne die Grundfläche G = a · a.
- Berechne ein Dreieck mit ½ · a · hs.
- Multipliziere es mit 4 und addiere G.
Mit einem Bild erklärt
| Teil | Rechnung | Fläche |
|---|---|---|
| Grundfläche | 6 · 6 | 36 cm² |
| 4 Dreiecke | 4 · ½ · 6 · 5 | 60 cm² |
| Oberfläche | 36 + 60 | 96 cm² |
Zur Grundlage zurück
- Die Oberfläche eines Prismas – Du kennst Grundfläche und Mantel schon vom Prisma.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Eine Pyramide hat die Grundkante a = 8 cm und die Seitenhöhe hs = 5 cm. Wie groß ist ein Dreieck des Mantels in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
Ein Dreieck: ½ · a · hs.
Lösung ansehen
Lösung: 20
½ · 8 · 5 = 20 cm².
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Eine quadratische Pyramide hat a = 10 cm und hs = 13 cm. Wie groß ist die Oberfläche in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
G = 10 · 10 = 100. Ein Dreieck hat ½ · 10 · 13 = 65 cm².
Lösung ansehen
Lösung: 360
M = 4 · 65 = 260. O = 100 + 260 = 360 cm².
Tipp: Skizziere das Netz und beschrifte a und hs. Dann siehst du, welche Zahlen du brauchst.
Merksatz: Quadratische Pyramide: O = a² + 2 · a · hs. Dabei ist hs die Seitenhöhe.
Typischer Fehler: Viele nehmen für die Dreiecke die Höhe h der Pyramide. Die Dreiecke brauchen aber die Seitenhöhe hs. Sie ist immer länger als h.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Eine quadratische Pyramide hat a = 4 cm und hs = 3 cm. Wie groß ist die Oberfläche in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
G = 16. Ein Dreieck: ½ · 4 · 3 = 6.
Lösung ansehen
Lösung: 40
M = 4 · 6 = 24. O = 16 + 24 = 40 cm².
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Lösung: die Grundfläche
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Lösung: Stimmt nicht
Frage 4 Eine quadratische Pyramide hat a = 12 cm und hs = 10 cm. Wie groß ist der Mantel in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
Vier Dreiecke mit je ½ · 12 · 10 = 60 cm².
Lösung ansehen
Lösung: 240
4 · 60 = 240 cm².
Lösung ansehen
Lösung: aus einem Quadrat und vier Dreiecken
Geschafft
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide ist Grundfläche plus Mantel. Der Mantel besteht aus vier gleichen Dreiecken. Jedes hat die Grundseite a und die Höhe hs.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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