Funktionsklassen im Überblick
Es gibt verschiedene Arten von Funktionen. Jede Art hat einen typischen Term und ein typisches Merkmal in der Wertetabelle.
Das lernst du heute
- Ich nenne lineare, quadratische, exponentielle und antiproportionale Funktionen.
- Ich ordne einen Term einer Funktionsklasse zu.
- Ich erkenne die Klasse an der Wertetabelle.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Tarife vergleichen, Die Normalparabel y = x², Linear, quadratisch oder exponentiell?
Funktionen mit demselben Bauplan bilden eine Funktionsklasse. Du kennst schon vier.
Lineare Funktion: f(x) = m · x + b. Die Differenzen benachbarter y-Werte sind gleich. Beispiel: 2x + 1.
Quadratische Funktion: f(x) = a · x² + b · x + c. Die zweiten Differenzen sind gleich. Beispiel: x².
Exponentielle Funktion: f(x) = a · bˣ. Die Quotienten benachbarter y-Werte sind gleich. Beispiel: 2ˣ.
Antiproportionale Funktion: f(x) = k : x (x ≠ 0). Das Produkt aus x und y ist immer gleich k. Beispiel: 12 : x. Für positive x und k gilt: Wird x größer, wird y kleiner.
Der Unterschied zwischen x² und 2ˣ liegt in der Stelle des x: Bei x² ist x die Basis, bei 2ˣ ist x der Exponent.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | Merkmal |
|---|---|---|---|---|---|
| 2x + 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | Differenzen gleich |
| x² | 1 | 4 | 9 | 16 | zweite Differenzen gleich |
| 2ˣ | 2 | 4 | 8 | 16 | Quotienten gleich |
| 12 : x | 12 | 6 | 4 | 3 | Produkte x · y gleich |
Terme zuordnen
- y = 3x − 2: x steht ohne Hochzahl mit einer Zahl davor. Das ist linear.
- y = 0,5 · x²: x steht in der Basis mit Hochzahl 2. Das ist quadratisch.
- y = 4 · 1,2ˣ: x steht im Exponenten. Das ist exponentiell.
- y = 24 : x: x steht im Nenner. Das ist antiproportional.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Wo steht das x?
Ohne Hochzahl, nur mit einer Zahl davor: linear.
In der Basis mit hoch 2: quadratisch.
Im Exponenten: exponentiell.
Im Nenner: antiproportional.
Ein Beispiel
Ein Taxi kostet pro Kilometer gleich viel (linear). Teilen sich mehr Personen eine Rechnung, zahlt jede weniger (antiproportional).
Schritt für Schritt
Wir erkennen eine Tabelle
- Tabelle: x = 1, 2, 3, 4 und y = 12, 6, 4, 3.
- Differenzen: −6, −2, −1. Nicht gleich.
- Produkte x · y: 12, 12, 12, 12. Gleich.
- Es ist antiproportional: y = 12 : x.
Mit einem Bild erklärt
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 6 | 4 | 3 |
| x · y | 12 | 12 | 12 | 12 |
Zur Grundlage zurück
- Tarife vergleichen – Lineare Funktionen kennst du.
- Die Normalparabel y = x² – Quadratische Funktionen kennst du.
- Linear, quadratisch oder exponentiell? – Exponentielles Wachstum hast du von den anderen Arten unterschieden.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
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Lösung: exponentiell
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: quadratisch
Tipp: Schau zuerst, wo x steht: davor als Faktor, in der Basis, im Exponenten oder im Nenner.
Merksatz: Linear: Differenzen gleich. Quadratisch: zweite Differenzen gleich. Exponentiell: Quotienten gleich. Antiproportional: Produkt x · y gleich.
Typischer Fehler: Viele verwechseln x² mit 2ˣ. Bei x = 3 ist x² = 9, aber 2ˣ = 8. Bei x = 4 sind beide 16. Das ist Zufall. Entscheidend ist die Stelle des x.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: y = 12, 6, 4, 3 für x = 1, 2, 3, 4
Frage 2 Gegeben ist f(x) = 24 : x. Berechne f(6).
Zeig mir den ersten Schritt
Teile 24 durch 6.
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Lösung: 4
24 : 6 = 4.
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Lösung: y = 3 · 2ˣ
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Es gibt lineare, quadratische, exponentielle und antiproportionale Funktionen. Du erkennst sie am Term oder an der Wertetabelle.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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