Eigenschaften vergleichen
Du vergleichst Funktionen nach Verlauf, y-Achsenabschnitt, Nullstellen und Symmetrie. So unterscheidest du die Klassen.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe den Verlauf einer Funktion.
- Ich bestimme Nullstellen und y-Achsenabschnitt.
- Ich prüfe die Symmetrie zur y-Achse.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Funktionsklassen im Überblick, Passt das Modell?
Wir vergleichen vier Funktionen: f(x) = 2x − 4 (linear), g(x) = x² − 4 (quadratisch), h(x) = 2ˣ (exponentiell) und k(x) = 12 : x (antiproportional, x ≠ 0).
Verlauf: f steigt überall. g fällt links von x = 0 und steigt rechts davon. Der tiefste Punkt ist (0|−4). h steigt überall und bleibt immer positiv.
y-Achsenabschnitt (Wert bei x = 0): f(0) = −4, g(0) = −4, h(0) = 1. Bei k gibt es keinen, denn durch 0 darf man nicht teilen.
Nullstellen (Stellen mit y = 0): f hat x = 2. g hat x = −2 und x = 2. h hat keine, denn 2ˣ ist immer größer als 0. k hat keine, denn 12 : x ist nie 0.
Symmetrie zur y-Achse: Der Graph ist symmetrisch, wenn f(−x) = f(x) gilt. Bei g ist g(3) = 5 und g(−3) = 5. Das stimmt für jedes x. Bei f ist f(3) = 2, aber f(−3) = −10. Bei h ist h(3) = 8, aber h(−3) = ein Achtel.
| Eigenschaft | f = 2x − 4 | g = x² − 4 | h = 2ˣ |
|---|---|---|---|
| y-Achsenabschnitt | −4 | −4 | 1 |
| Nullstellen | x = 2 | x = −2 und x = 2 | keine |
| Verlauf | steigt überall | fällt, dann steigt | steigt überall |
| symmetrisch zur y-Achse | nein | ja | nein |
Eigenschaften von g(x) = x² − 9
- y-Achsenabschnitt: g(0) = −9.
- Nullstellen: x² − 9 = 0, also x² = 9. Das gibt x = −3 und x = 3.
- Symmetrie: g(2) = −5 und g(−2) = −5. Das gilt für alle x, denn (−x)² = x².
- Verlauf: Tiefster Punkt (0|−9), links davon fallend, rechts steigend.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
y-Achsenabschnitt: x = 0 einsetzen.
Nullstelle: y = 0 setzen und lösen.
Symmetrie: f(−x) mit f(x) vergleichen.
Ein Beispiel
Ein geworfener Ball fliegt ungefähr auf einer Parabel. Landet er auf der Höhe, von der er geworfen wurde, steigt er etwa so lange, wie er fällt.
Schritt für Schritt
Wir prüfen die Symmetrie von x² + 1
- Nimm x = 2 und x = −2.
- Für x = 2: 2² + 1 = 5.
- Für x = −2: (−2)² + 1 = 5.
- Beide Werte sind gleich. Das gilt für jedes x. Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Mit einem Bild erklärt
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x² + 1 | 10 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 |
Zur Grundlage zurück
- Funktionsklassen im Überblick – Du kennst jetzt die vier Funktionsklassen.
- Passt das Modell? – Nullstellen und Scheitelpunkt hast du bei Parabeln gedeutet.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Welche Nullstelle hat f(x) = 2x − 4?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze 2x − 4 = 0.
Lösung ansehen
Lösung: 2
2x = 4, also x = 2.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Berechne g(−3) für g(x) = x² − 4.
Zeig mir den ersten Schritt
(−3)² = 9.
Lösung ansehen
Lösung: 5
9 − 4 = 5.
Tipp: Schreibe die Eigenschaften in einer Tabelle auf. So siehst du Unterschiede sofort.
Merksatz: Vergleiche Funktionen nach Verlauf, y-Achsenabschnitt, Nullstellen und Symmetrie. Parabeln der Form ax² + c sind symmetrisch zur y-Achse.
Typischer Fehler: Viele denken, jede Funktion habe eine Nullstelle. Das stimmt nicht: Exponentialfunktionen a · bˣ haben keine. Der Graph kommt der x-Achse nur beliebig nahe.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: zwei
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 3 Welchen y-Achsenabschnitt hat h(x) = 2ˣ?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 0 ein.
Lösung ansehen
Lösung: 1
2⁰ = 1.
Lösung ansehen
Lösung: g(x) = x² − 4
Frage 5 Welche Nullstelle hat k(x) = 3x − 12?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze 3x − 12 = 0.
Lösung ansehen
Lösung: 4
3x = 12, also x = 4.
Geschafft
Du vergleichst Funktionen mit Verlauf, y-Achsenabschnitt, Nullstellen und Symmetrie. Exponentialfunktionen haben keine Nullstelle.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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