Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Du unterscheidest Ziehen mit und ohne Zurücklegen und ziehst ohne Zurücklegen im Baumdiagramm.
Das lernst du heute
- Ich erkläre den Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen.
- Ich berechne Pfade beim Ziehen ohne Zurücklegen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die Pfadadditionsregel
Beim Ziehen mit Zurücklegen steckst du die Kugel nach jedem Zug zurück. Die Urne ist vor jedem Zug gleich. Die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen sind in jeder Stufe gleich. Beim Ziehen ohne Zurücklegen bleibt die Kugel draußen. Die Urne wird kleiner. Deshalb ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe. Beispiel: 3 rote und 2 blaue Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Erste Stufe: R mit drei Fünftel, B mit zwei Fünftel. Zieht man zuerst R, bleiben 2 rote und 2 blaue Kugeln: zweite Stufe R mit zwei Viertel, B mit zwei Viertel. Zieht man zuerst B, bleiben 3 rote und 1 blaue Kugel: R mit drei Viertel, B mit ein Viertel. Pfade: P(R|R) = drei Fünftel · zwei Viertel = drei Zehntel, P(R|B) = drei Fünftel · zwei Viertel = drei Zehntel, P(B|R) = zwei Fünftel · drei Viertel = drei Zehntel, P(B|B) = zwei Fünftel · ein Viertel = ein Zehntel. Zusammen zehn Zehntel = 1.
| Pfad | Mit Zurücklegen | Ohne Zurücklegen |
|---|---|---|
| (R|R) | drei Fünftel · drei Fünftel = neun 25stel | drei Fünftel · zwei Viertel = drei Zehntel |
| (R|B) | drei Fünftel · zwei Fünftel = sechs 25stel | drei Fünftel · zwei Viertel = drei Zehntel |
| (B|R) | zwei Fünftel · drei Fünftel = sechs 25stel | zwei Fünftel · drei Viertel = drei Zehntel |
| (B|B) | zwei Fünftel · zwei Fünftel = vier 25stel | zwei Fünftel · ein Viertel = ein Zehntel |
Zwei rote aus 2 roten und 2 blauen
- Aufgabe: Eine Urne enthält 2 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(R|R)?
- Erster Zug: P(R) = zwei Viertel.
- Danach bleiben 1 rote und 2 blaue, also 3 Kugeln: P(R) = ein Drittel.
- P(R|R) = zwei Viertel · ein Drittel = zwei Zwölftel = ein Sechstel.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Mit Zurücklegen: gleiche Urne.
Ohne Zurücklegen: kleinere Urne.
Zweite Stufe neu berechnen.
Ein Beispiel
Bei einem Kartenspiel mit vier Assen legst du gezogene Karten nicht zurück. Nach einem Ass sind nur noch drei Asse im Stapel. Deshalb ändern sich die Chancen.
Schritt für Schritt
Zweite Stufe neu bestimmen
- Welche Kugel wurde in der ersten Stufe gezogen?
- Streiche sie aus der Urne.
- Zähle neu: Kugeln jeder Farbe und insgesamt.
- Schreibe diese Brüche an die Äste der zweiten Stufe.
Mit einem Bild erklärt
| Nach dem ersten Zug | Urne | P(R) im 2. Zug |
|---|---|---|
| R gezogen | 2 R, 2 B | zwei Viertel |
| B gezogen | 3 R, 1 B | drei Viertel |
Zur Grundlage zurück
- Die Pfadadditionsregel – Die Pfadregeln gelten auch hier.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zeig mir den ersten Schritt
Wie viele Kugeln sind noch in der Urne?
Lösung ansehen
Lösung: ein halb
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
3 rote und 2 blaue Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(B|B) in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne zwei Fünftel · ein Viertel.
Lösung ansehen
Lösung: 10
zwei Fünftel · ein Viertel = zwei 20stel = ein Zehntel = 10 %.
Tipp: Schreibe bei der zweiten Stufe auf, wie viele Kugeln noch in der Urne sind. Der Nenner ist um 1 kleiner. Der Zähler ändert sich nur bei der gezogenen Farbe.
Merksatz: Mit Zurücklegen: jede Stufe gleich. Ohne Zurücklegen: Die Urne ändert sich, die zweite Stufe hat andere Wahrscheinlichkeiten. Die Pfadregeln gelten in beiden Fällen.
Typischer Fehler: Viele benutzen auch beim Ziehen ohne Zurücklegen in der zweiten Stufe die Zahlen der ersten Stufe. Dann stimmt die Summe aller Pfade nicht mehr.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 3 rote und 2 blaue Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Farben in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Es gibt zwei Pfade mit je drei Zehntel.
Lösung ansehen
Lösung: 60
drei Zehntel + drei Zehntel = sechs Zehntel = 60 %.
Lösung ansehen
Lösung: ein Sechstel
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Frage 4 1 rote und 3 blaue Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(R|B) in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
P(R) = ein Viertel. Danach sind nur noch blaue Kugeln da: P(B) = drei Drittel.
Lösung ansehen
Lösung: 25
ein Viertel · drei Drittel = ein Viertel = 25 %.
Frage 5 2 rote und 3 blaue Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(R|R) in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne zwei Fünftel · ein Viertel.
Lösung ansehen
Lösung: 10
zwei 20stel = ein Zehntel = 10 %.
Geschafft
Ohne Zurücklegen wird die Urne kleiner. In der zweiten Stufe stehen neue Wahrscheinlichkeiten.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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