Die Pfadadditionsregel
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das zu mehreren Pfaden gehört.
Das lernst du heute
- Ich finde alle Pfade zu einem Ereignis.
- Ich addiere die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die Pfadmultiplikationsregel
Ein Ereignis kann zu mehreren Pfaden gehören. Dann addierst du die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade. Beispiel: Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen mit Zurücklegen. Ereignis E: Die beiden Kugeln haben verschiedene Farben. Zu E gehören die Pfade (R|B) und (B|R). P(R|B) = sechs 25stel und P(B|R) = sechs 25stel. Pfadadditionsregel: P(E) = sechs 25stel + sechs 25stel = zwölf 25stel. Ein anderes Ereignis: Beide Kugeln haben dieselbe Farbe. Pfade: (R|R) und (B|B). P = neun 25stel + vier 25stel = 13 25stel. Beide Ereignisse zusammen ergeben zwölf 25stel + 13 25stel = 1.
| Ereignis | Pfade | Rechnung | P |
|---|---|---|---|
| verschiedene Farben | (R|B), (B|R) | sechs 25stel + sechs 25stel | zwölf 25stel |
| gleiche Farbe | (R|R), (B|B) | neun 25stel + vier 25stel | 13 25stel |
Genau einmal Kopf
- Aufgabe: Du wirfst eine Münze zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau einmal Kopf?
- Pfade: (K|Z) und (Z|K).
- P(K|Z) = ein halb · ein halb = ein Viertel. P(Z|K) = ein Viertel.
- Summe: ein Viertel + ein Viertel = ein halb.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Entlang des Pfades: mal.
Zwischen den Pfaden: plus.
Keinen Pfad vergessen.
Ein Beispiel
Du willst wissen, ob du an zwei Tagen genau einmal Regen hast. Das geht auf zwei Wegen: erst Regen, dann trocken oder erst trocken, dann Regen. Beide Wege zählen.
Schritt für Schritt
Pfade sammeln und addieren
- Schreibe alle Pfade des Baums auf.
- Markiere die Pfade, die zum Ereignis gehören.
- Berechne jeden mit der Multiplikationsregel.
- Addiere.
Mit einem Bild erklärt
| Ereignis | Zahl der Pfade | P |
|---|---|---|
| Münze zweimal: genau einmal Kopf | 2 | ein halb |
| Würfel zweimal: Augensumme 7 | 6 | sechs 36stel = ein Sechstel |
| Würfel zweimal: Pasch | 6 | sechs 36stel = ein Sechstel |
Zur Grundlage zurück
- Die Pfadmultiplikationsregel – Die Pfadwahrscheinlichkeiten berechnest du mit der Multiplikationsregel.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zeig mir den ersten Schritt
Welche zwei Pfade gehören zum Ereignis?
Lösung ansehen
Lösung: zwölf 25stel
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Du wirfst eine Münze dreimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Kopf in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Es gibt 3 Pfade, jeder hat ein Achtel.
Lösung ansehen
Lösung: 37,5
3 · ein Achtel = drei Achtel = 37,5 %.
Tipp: Gehe so vor: 1. Pfade zum Ereignis markieren. 2. Jeden Pfad mit der Multiplikationsregel berechnen. 3. Alle Ergebnisse addieren. Prüfe, ob du keinen Pfad vergessen hast.
Merksatz: Pfadadditionsregel: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten. Entlang eines Pfades multiplizieren, zwischen Pfaden addieren.
Typischer Fehler: Viele vergessen einen Pfad. Bei „verschiedene Farben“ gehören beide Reihenfolgen dazu: erst rot, dann blau und erst blau, dann rot.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 13 25stel
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 3 Du würfelst zweimal. Wie viele Pfade gehören zum Ereignis „Augensumme 7“?
Zeig mir den ersten Schritt
Schreibe die Paare auf: (1|6), (2|5) …
Lösung ansehen
Lösung: 6
(1|6), (2|5), (3|4), (4|3), (5|2), (6|1): 6 Pfade.
Lösung ansehen
Lösung: fünf 18tel
Frage 5 Du würfelst zweimal. Wie viele Pfade gehören zum Ereignis „Pasch“ (beide Würfel gleich)?
Zeig mir den ersten Schritt
Pasch: (1|1), (2|2) …
Lösung ansehen
Lösung: 6
(1|1) bis (6|6): 6 Pfade.
Geschafft
Entlang eines Pfades wird multipliziert. Gehören mehrere Pfade zum Ereignis, werden die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Mehrstufige Zufallsversuche
Kurz erklärt, 46 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen