Die Pfadmultiplikationsregel
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit eines Pfades als Produkt der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen.
Das lernst du heute
- Ich berechne die Wahrscheinlichkeit eines Pfades.
- Ich erkläre, warum man multipliziert.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Das Baumdiagramm, Bruch mal Bruch
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten an seinen Ästen. Beispiel: Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen mit Zurücklegen. P(R|R) = drei Fünftel · drei Fünftel = neun 25stel. P(R|B) = drei Fünftel · zwei Fünftel = sechs 25stel. P(B|R) = zwei Fünftel · drei Fünftel = sechs 25stel. P(B|B) = zwei Fünftel · zwei Fünftel = vier 25stel. Zusammen: neun 25stel + sechs 25stel + sechs 25stel + vier 25stel = 25 25stel = 1. Warum multiplizieren? Es gibt 5 · 5 = 25 gleich wahrscheinliche Paare aus erstem und zweitem Zug. Für (R|R) sind 3 · 3 = 9 Paare günstig. Das ist neun 25stel, also drei Fünftel von drei Fünftel.
| Pfad | Rechnung | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| (R|R) | drei Fünftel · drei Fünftel | neun 25stel |
| (R|B) | drei Fünftel · zwei Fünftel | sechs 25stel |
| (B|R) | zwei Fünftel · drei Fünftel | sechs 25stel |
| (B|B) | zwei Fünftel · zwei Fünftel | vier 25stel |
Erst eine Sechs, dann keine Sechs
- Aufgabe: Du würfelst zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für erst eine Sechs, dann keine Sechs?
- Erste Stufe: P(Sechs) = ein Sechstel.
- Zweite Stufe: P(keine Sechs) = fünf Sechstel.
- Pfad: ein Sechstel · fünf Sechstel = fünf 36stel.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Entlang des Pfades: mal.
Alle Pfade zusammen: 1.
Kontrolle: Summe gleich 1.
Ein Beispiel
Ein Glücksrad ist zur Hälfte rot. Du drehst es zweimal. In der Hälfte der Fälle kommt zuerst Rot, und davon wieder in der Hälfte der Fälle noch einmal Rot. Zweimal Rot: ein halb von ein halb = ein Viertel.
Schritt für Schritt
Pfad berechnen
- Schreibe die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Pfades auf.
- Multipliziere sie.
- Kürze, wenn es geht.
Mit einem Bild erklärt
| Versuch | Pfad | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| Würfel zweimal | erst Sechs, dann keine | ein Sechstel · fünf Sechstel | fünf 36stel |
| Urne 3 R, 2 B | (B|B) | zwei Fünftel · zwei Fünftel | vier 25stel |
Zur Grundlage zurück
- Das Baumdiagramm – Das Baumdiagramm brauchst du hier.
- Bruch mal Bruch – Brüche multiplizierst du hier mehrfach.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Zahl steht an jedem B-Ast?
Lösung ansehen
Lösung: neun 25stel
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Glücksrad hat Rot mit der Wahrscheinlichkeit ein Viertel. Es wird zweimal gedreht. Wie groß ist P(Rot|Rot) in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne ein Viertel · ein Viertel.
Lösung ansehen
Lösung: 6,25
ein Viertel · ein Viertel = ein 16tel = 6,25 %.
Tipp: Beim Multiplizieren von Brüchen rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Kürze am Schluss. Die Summe aller Pfade muss 1 ergeben. Das ist eine gute Kontrolle.
Merksatz: Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten an seinen Ästen.
Typischer Fehler: Viele addieren die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Das ergibt eine zu große Zahl. Entlang eines Pfades wird multipliziert.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Was passiert entlang eines Pfades?
Lösung ansehen
Lösung: Ich multipliziere die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen.
Frage 2 Du wirfst eine Münze dreimal. Wie groß ist P(K|K|K) in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne ein halb · ein halb · ein halb.
Lösung ansehen
Lösung: 12,5
ein Achtel = 12,5 %.
Lösung ansehen
Lösung: sechs 25stel
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Frage 5 Ein Beutel hat 1 rote und 4 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist P(B|B) in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
P(B) = vier Fünftel. Rechne vier Fünftel · vier Fünftel.
Lösung ansehen
Lösung: 64
16 25stel = 64 %.
Geschafft
Entlang eines Pfades multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Mehrstufige Zufallsversuche
Kurz erklärt, 46 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen