Mit dem Gegenereignis rechnen
Du rechnest Wahrscheinlichkeiten für „mindestens einmal“ über das Gegenereignis.
Das lernst du heute
- Ich bilde das Gegenereignis.
- Ich berechne „mindestens einmal“ mit P(E) = 1 − P(nicht E).
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Das Gegenereignis zu E ist das Ereignis, dass E nicht eintritt. Beide zusammen sind sicher: P(E) + P(nicht E) = 1. Also gilt P(E) = 1 − P(nicht E). Das hilft bei „mindestens einmal“. Beispiel: Eine Münze wird dreimal geworfen. E: mindestens einmal Kopf. Alle Pfade außer (Z|Z|Z) gehören zu E, das sind 7 Pfade. Mit dem Gegenereignis ist es viel kürzer: P(nicht E) = P(Z|Z|Z) = ein halb · ein halb · ein halb = ein Achtel. P(E) = 1 − ein Achtel = sieben Achtel = 87,5 %. Beispiel mit der Urne (3 rote, 2 blaue, zweimal mit Zurücklegen): E: mindestens eine rote. Gegenereignis: keine rote, also (B|B). P(B|B) = vier 25stel. P(E) = 1 − vier 25stel = 21 25stel.
| Ereignis E | Gegenereignis | P(Gegenereignis) | P(E) |
|---|---|---|---|
| Münze 3-mal: mind. einmal Kopf | dreimal Zahl | ein Achtel | sieben Achtel |
| Würfel 2-mal: mind. eine Sechs | keine Sechs | 25 36stel | elf 36stel |
| Urne mit: mind. eine rote | (B|B) | vier 25stel | 21 25stel |
| Urne ohne: mind. eine rote | (B|B) | ein Zehntel | neun Zehntel |
Mindestens eine Sechs
- Aufgabe: Du würfelst zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs?
- Gegenereignis: keine Sechs, weder im ersten noch im zweiten Wurf.
- P(keine Sechs) = fünf Sechstel · fünf Sechstel = 25 36stel.
- P(mindestens eine Sechs) = 1 − 25 36stel = elf 36stel.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
E und nicht E zusammen: 1.
Mindestens einmal: erst „keinmal“ berechnen.
Dann von 1 abziehen.
Ein Beispiel
Du fragst: Wird es in der Woche mindestens einmal regnen? Einfacher ist: Wie wahrscheinlich ist eine Woche ganz ohne Regen? Das ziehst du von 1 ab.
Schritt für Schritt
Das Gegenereignis nutzen
- Formuliere das Gegenereignis.
- Berechne es mit der Pfadmultiplikationsregel.
- Ziehe das Ergebnis von 1 ab.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Gegenereignis | dreimal Zahl |
| Wahrscheinlichkeit | ein halb · ein halb · ein halb = ein Achtel |
| Ergebnis | 1 − ein Achtel = sieben Achtel |
Zur Grundlage zurück
- Ziehen mit und ohne Zurücklegen – Die Pfadregeln brauchst du für das Gegenereignis.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Du wirfst eine Münze zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Kopf in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Gegenereignis: zweimal Zahl. Das ist ein Viertel.
Lösung ansehen
Lösung: 75
1 − ein Viertel = drei Viertel = 75 %.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Du wirfst eine Münze dreimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Zahl in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Gegenereignis: dreimal Kopf. Das ist ein Achtel.
Lösung ansehen
Lösung: 87,5
1 − ein Achtel = sieben Achtel = 87,5 %.
Tipp: Das Wort „mindestens“ ist ein Signal: Rechne mit dem Gegenereignis. Es ist meist ein einziger Pfad. Das Gegenereignis von „mindestens einmal“ ist „keinmal“.
Merksatz: Gegenereignis: P(E) = 1 − P(nicht E). Gegenereignis von „mindestens einmal“ ist „keinmal“.
Typischer Fehler: Viele wählen als Gegenereignis „genau einmal“. Das stimmt nicht. Das Gegenereignis von „mindestens einmal“ ist „keinmal“, denn nur dann tritt „mindestens einmal“ nicht ein.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Wann tritt „mindestens einmal“ nicht ein?
Lösung ansehen
Lösung: Keinmal Rot
Frage 2 P(E) = 0,35. Wie groß ist P(nicht E)?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 1 − 0,35.
Lösung ansehen
Lösung: 0,65
1 − 0,35 = 0,65.
Frage 3 Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln. Zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(mindestens eine rote) in Prozent?
Zeig mir den ersten Schritt
Gegenereignis: (B|B). P(B|B) = zwei Fünftel · ein Viertel.
Lösung ansehen
Lösung: 90
P(B|B) = ein Zehntel. 1 − ein Zehntel = neun Zehntel = 90 %.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: elf 36stel
Geschafft
Mit dem Gegenereignis rechnest du P(E) = 1 − P(nicht E). Bei „mindestens einmal“ ist das Gegenereignis „keinmal“.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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