Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte
Manche Aufgaben haben zwei Unbekannte. Du brauchst dann zwei Gleichungen. Du prüfst, ob ein Zahlenpaar beide erfüllt.
Das lernst du heute
- Ich stelle ein Gleichungssystem aus einem Text auf.
- Ich weiß, was die Lösung eines Systems ist.
- Ich prüfe ein Zahlenpaar mit der Probe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Schritt für Schritt umformen
An der Kasse kosten 2 Erwachsenenkarten und 1 Kinderkarte zusammen 22 Euro. Eine Erwachsenenkarte und 2 Kinderkarten kosten 17 Euro. Nennst du den Preis einer Erwachsenenkarte x und den einer Kinderkarte y, gilt: I: 2x + y = 22 und II: x + 2y = 17. Das ist ein lineares Gleichungssystem. Die Lösung ist ein Zahlenpaar (x|y), das beide Gleichungen erfüllt. Hier ist es (9|4). Probe: I: 2 · 9 + 4 = 22 und II: 9 + 2 · 4 = 17. Beide stimmen.
| Gleichung | Probe mit (9|4) | |
|---|---|---|
| I | 2x + y = 22 | 2 · 9 + 4 = 22 |
| II | x + 2y = 17 | 9 + 2 · 4 = 17 |
Zahlenpaar prüfen
- System: I: x + y = 10 und II: x − y = 2.
- Prüfe (3|7): I: 3 + 7 = 10 stimmt.
- II: 3 − 7 = −4, nicht 2. Das Paar ist keine Lösung.
- Prüfe (6|4): I: 6 + 4 = 10. II: 6 − 4 = 2. Beide stimmen.
- Lösung: (6|4).
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zwei Unbekannte, zwei Gleichungen.
Ein Paar muss beide erfüllen.
Probe in beiden Gleichungen.
Ein Beispiel
Du hast Münzen: 10 insgesamt, Zweier und Einer, Wert 14 Euro. Mit zwei Angaben kannst du beide Anzahlen finden, mit einer nicht.
Schritt für Schritt
Wir prüfen das Paar (6|4)
- System: x + y = 10 und x − y = 2.
- Setze x = 6 und y = 4 ein.
- I: 6 + 4 = 10. Stimmt.
- II: 6 − 4 = 2. Stimmt.
- Also ist (6|4) die Lösung.
Mit einem Bild erklärt
| x + y = 10 | x − y = 2 | |
|---|---|---|
| (6|4) | 10 stimmt | 2 stimmt |
| (3|7) | 10 stimmt | −4 stimmt nicht |
Zur Grundlage zurück
- Schritt für Schritt umformen – Gleichungen mit einer Unbekannten kannst du schon lösen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: (6|4)
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: (8|4)
Tipp: Prüfe ein Paar immer in beiden Gleichungen. Eine allein reicht nicht.
Merksatz: Gleichungssystem: zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Lösung: ein Paar (x|y), das beide Gleichungen erfüllt.
Typischer Fehler: Viele prüfen ein Paar nur in einer Gleichung. Zu x + y = 10 passen unendlich viele Paare. Erst die zweite Gleichung schränkt ein.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 2 Kinokarten: 2x + y = 22 und x + 2y = 17. Ein Erwachsenenticket kostet 9 Euro. Wie viel Euro kostet ein Kinderticket?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 9 in 2x + y = 22 ein.
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Lösung: 4
18 + y = 22, also y = 4.
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Lösung: Zwei
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Lösung: b + 2a = 2 und 2b + a = 2,5
Frage 5 x + y = 10 und x − y = 2. Wie groß ist y, wenn x = 6 ist?
Zeig mir den ersten Schritt
6 + y = 10.
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Lösung: 4
y = 4.
Geschafft
Du stellst Gleichungssysteme auf und prüfst Zahlenpaare.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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